WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Випадкові величини - Реферат

Випадкові величини - Реферат


Реферат на тему:
Випадкові величини
1. Випадкові величини функції на просторі елементарних подій.
Одним з основних понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини. Випадкова величина це величина, яка приймає те чи інше значення в залежності від випадку. Прикладом випадкової величини можуть бути число очок, які випали при одному підкиданні грального кубика, число попадань в ціль при n пострілах, час безвідмовної роботи приладу, дальність польоту балістичної ракети та інш. Випадкова величина є число, яке ставиться у відповідність кожному можливому наслідку експеримента. Оскільки наслідки експерименту описуються елементарними подіями, випадкову величину можна розглядати як функцію на просторі елементарних подій .
Приклад. Нехай двічі підкидають монету. Простір елементарних подій має вигляд ГГ, ГР, РГ, РР . Нехай число появ герба. Величина є функцією елементарної події. Таблиця значень функції має наступний вигляд:
Г Г Г Р Р Г Р Р
2 1 1 0
Функція на називається вимірною відносно алгебри , якщо для кожного дійсного х виконана умова : х .
Випадковою величиною на ( ) називається вимірна функція
, яка задає відображення в множину дійсних чисел R.
Функцією розподілу випадкової величини називається функція
F(x)={ : < x}.
Нехай ймовірнісний простір і випадкова величина на ньому. Показати,що кожна із множин множини
{ : x}, { : x},
{ : x}, { : a < b},
{ : x}, { : a< < b}
є випадковою подією, тобто кожна з цих множин належить алгебрі . Показати, що P{ : x}= , P{ : x}= -
Р{ : a < b}= F(b)- F( ),
2. Дискретні випадкові величини.
Нехай ймовірнісний простір. Дискретною випадковою величиною називається функція на , яка набуває скінченне або зліченне число значень х1, х2, …, хn , … і є вимірною відносно алгебри . Це означає, що для кожного хі
{ : x} (1)
Дійсно, якщо для функції має місце співвідношення (1), то ця функція вимірна відносно , так як для кожного дійсного х
{ : x}= { : xі} .
Крім того, якщо вимірна відносно алгебри , то за Теоремою 1 для кожного дійсного х { : x } . Таким чином, якщо дискретна випадкова величина на ймовірнісному просторі , яка приймає значення х1, х2, …, хn, …, то для кожного n визначена ймовірність
Рn=Р{ : xn} (2)
Нехай ( ) - дискретна випадкова величина, яка набуває значення х1,…, хі,…. Набір чисел
Р{ : ( )=xi}=pi (i=1,2,…)
називають р о з п о д і л о м випадкової величини . Зрозуміло, що
рі 0, .
Часто розподіл випадкової величини подають у вигляді такої таблиці, в якій перераховуються значення випадкової величини разом з відповідними ймовірностями:
x1 … xk …
p p1 … pk …
Функція розподілу дискретної випадкової величини ( ) визначається рівністю
Сумісний розподіл випадкових величин ( ) і ( ). Нехай ( ) - дискретна випадкова величина, яка набуває значень х1, х2,…, хі,…, ( ) - дискретна випадкова величина, яка набуває значень y1, y2,…, yі,…. Набір чисел
Р{ : ( )=xi, ( )=yi}=pij
(i=1, 2, …; j=1, 2, …) називається с у м і с н и м р о з п о д і л о м
випадкових величин і (розподілом випадкового вектора ( , )). Мають місце такі твердження:
а) рij 0,
б)
де {pi} розподіл ( ), {qi} - розподіл ( ).
Незалежні випадкові величини. Випадкові величини і
н а з и в а ю т ь с я н е з а л е ж н и м и, якщо для будь-яких i j
P{ ( )=xi, ( )= yi} = P{ ( )=xi} " P{ ( )= yi}.
Математичне сподівання випадкової величини. Нехай ( ) - дискретна випадкова величина, яка набуває значень хі з імовірностями рі(і=1, 2, …). Припустимо, що ряд хі рі збігається. Тоді м а т е м а т и ч н и м с п оді-
в а н н я м випадкової величини ( ) називається сума ряду М ( ) = Якщо хі рі=+ , то кажуть, що випадкова величина ( ) не має математичного сподівання. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.
Дисперсія випадкової величини ( ) визначається рівністю
D =M[ - M ]2= M 2-( M )2=
Властивості дисперсії.
1. D =0 =соnst;
2. D =
3. D(C )=c2 D ;
4. D( C)= D .
5. Якщо та незалежні випадкові величини, то D( )= D +D .
Коєфіцієнт коваріації випадкових величин та це:
cov( , )=M( -M )( -M ).
Коефіцієнт кореляції. К о є ф і ц і є н т о м к о р е л я ц і ї випадкових величин і називаються
Мають місце такі твердження:
а) r( , ) 1;
б) якщо і незалежні, то r( , )=0;
в) якщо r( , ) =1, то з імовірністю одиниця =а +b, де а і b - деякі сталі.
Схема Бернуллі. Класичні дискретні розподіли.
Біномінальний розподіл. Проводяться незалежні випробовування; в кожному випробовуванні може бути два результати: "успіх" - з імовірністю p, або невдача з імовірністю 1-р=q. Нехай проведено n випробовувань. Позначимо через число "успіхів", тоді
Pn(k)=P{ =k}= (k=0, 1,…, n).
Розподіл випадкової величини називається
б і н о м і н а л ь н и м р о з п о д і л о м Б е р н у л л і, а описана вище схема носить назву схеми незалежних випробовувань, або схеми Бернуллі.
, .
Локальна теорема Муавра- Лапласа.Якщо ,то
; .
Iнтегральна теорема Муавра - Лапласа. Якщо , р -константа, то
рівномірно по х1,х2 (-
Теорема Пуассона. Якщо р=рn o та при ( , то
Геометричний розподіл. Випадкова величина , яка набуває значень 0, 1, …, k…має геометричний розподіл з параметром р,якщо
Р{ =k}=(1-p)kp.
Величину можна інтерпретувати як число випробувань до першої появи успіху в схемі незалежних випробувань з ймовірністю появи успіху р.
Розподіл Пуассона. Випадкова величина , яка набуває значень 0, 1, …, k…має розподіл Пуассона з параметром ), якщо
Р{ =k}= ,
Зазначемо, що параметр в цьому розподілі задовільняє рівності =np, де n-число випробувань, а p -ймовірність успіху. При великому числі випробувань, число успіхів, наближено розподілено по закону Пуассона, а ймовірність успіху має порядок (закон рідких подій).
Задача 1.Двічі підкидають монету. Описати простір елементарних подій . Нехай число появи герба. Знайти розподіл випадкової величини , математичне сподівання М
Loading...

 
 

Цікаве