WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Задачі на екстремум в планіметрії - Реферат

Задачі на екстремум в планіметрії - Реферат

його досягає функція . А це квадратична функція, яку можна подати у такому вигляді:
Тоді є єдиною точкою максимуму функції і . Тому функція у точці набуває найбільшогозначення: . Але при , а це означає, що АВС - рівнобедрений. Отже, з усіх трикутників із даними основою і периметром рівнобедрений має найбільшу висоту.
Задача 6. З усіх трикутників із заданими основою с і периметром 2р знайти той, у якого проведена до основи медіана є найменшою.
Розв'язання. Довжина медіани me трикутника визначається через довжини його сторін а, b, с за такою формулою:
.
Нехай у АВС ; |AB|=c i |AD|=|DB|. Введемо позначення: |AC|=x, 0Оскільки
,
то розв'язавши рівняння
2р-с-2х = 0,
знаходимо критичну точку функції me(х):
. Легко переконатися, що m/e(х)0, якщо х є ( ; 2р-с), тому є точкою мінімуму функції me(х), причому me( )= . Оскільки - єдина точка мінімуму на (0; 2р-с), то функція me(х) у точці набуває найменшого значення. Але при х = |AC| = = також i |CB| = , а це означає, що АВС - рівнобедрений. Отже, з усіх трикутників із заданими основою і периметром рівнобедрений має найменшу медіану.
Задача 7. З усіх рівнобедрених трапецій, три сторони яких мають однакову довжину а, знайти ту, яка має найбільшу площу.
Розв'язання.
Нехай |AB| = |BC| = |CD| = a, Задача 8. З квадратного листа жерсті із стороною а треба виготовити відкриту зверху коробку, вирізавши по кутах квадратики і загнувши утворені краї. Якою повинна бути сторона основи коробки, щоб її об'єм був максимальним?
Розв'язання.
Позначимо через х довжину сторони коробки. Тоді довжини сторін вирізаних квадратиків дорівнюють , а об'єм коробки дорівнює .
Зі змістом задачі число х задовольняє нерівність 0Знаходимо критичні точки функції:
,
тобто х = 0 або х = .
А через те, що V(o)=0 i V(a)=0, то найбільшою на відрізку значення функція V набуває, коли х = , тобто
Найбільшого значення функція досягає всередині відрізка [0; а], отже, і всередині інтервалу (0; а). Таким чином, сторона основи коробки повинна бути .
Задача 9. Площа поверхні сфери рівна 27 . Яка висота циліндра найбільшого об'єму, вписаного в цю сферу?
Розв'язання.
Нехай циліндр утворений обертанням прямокутника АВСD навколо діаметра MN. Нехай AD = x, виразимо об'єм V циліндра як функцію від х. Одержали , тобто , звідки . З АОВ отримаємо АВ2=ОВ2-ОА2, тобто АВ2= . Згідно з формулою , де R - радіус циліндра, Н - його висота, запишемо об'єм циліндра
.
За умовою задачі 0Залишилось визначити положення точки D, при якому D1D2 є найменшим. Розглянемо трикутник D1AD2. Кут при вершині А фіксований (він рівний 2<ВАС), D1A = D2A=DA. Значить D1D2 є найменшим, якщо найменшим є відрізок АD, тобто АD - висота трикутника АВС. Оскільки доведено існування і єдність мінімального (по периметру) трикутника AEF, тоді, повторяючи роздуми відносно інших сторін трикутника АВС, прийдемо до висновку, що Е і F також повинні бути основами відповідних висот трикутника АВС.
Інший корисний прийом ілюструє наступна задача.
Задача 10. Дано кут величиною ( <900). О-вершина кута. На одній із сторін кута взята точка А, ОА = а. Точка В розміщена на тій же стороні, а М - на протилежній стороні так, що Розв'язання.
Нехай М і В - будь-які дві точки на сторонах кута, для яких Можна зробити й по-іншому, розглянувши М і В, такі, що описане коло дотикається сторони кута, довести, що відрізок АВ, який ми отримали. Має найменшу довжину. Зрозуміло, що В потрібно взяти на відрізку ОА (мал.2). для будь-якої точки М1, відмінної від М, буде Знайдемо відрізок АВ, який відповідає цьому положенню точки М. Нехай Р - середина АВ, АВ = 2х, ОР = а-х. МР = х, . Найменше значення довжини відрізка АВ рівне .
Але не завжди вдається проробити прямі роздуми, які б доводили, що знайдене розміщення. Реалізує шуканий екстремум. Нагадаємо, що при знаходженні найбільших і найменших значень з допомогою математичного аналізу, ми опираємось на ствердження про існування найбільшого або найменшого значення. Дане твердження може бути сформульоване в загальному вигляді. Але звернення до даного ствердження не зовсім знайомі, оскільки доведення загального факту в шкільному курсі відсутнє. З іншої сторони, в кожному конкретному випадку існування найбільшого або найменшого значення достатньо очевидно. Аналогічно даному геометричні погляди, які показують для яких розміщень найбільше чи найменше значення не досягається, доповнені теоремою існування, дають умови, які визначають екстремальне положення.
Задача 11. Точки А, В, С розміщені по одній на трьох колах з радіусами 1, 3 і 5. Чому дорівнює найбільше значення площі трикутника АВС?
Розв'язання.
Доведемо, що до шуканого трикутника виконується наступна властивість: пряма, яка проходить через довільну його вершину паралельно протилежній стороні, повинна дотикатися до відповідного кола.
Нехай пряма, проведена через С паралельно АВ, перетинає коло (мал.3). тоді. Переміщуючи С по одній з отриманих дуг в положенні С1, отримаємо трикутник АВС1, площа якого більша, ніж площа трикутника АВС.
Доведемо (при умові існування), що точка О - спільний центр кіл - для шуканого трикутника є точкою перетину висот (мал.4).
Нехай АО = 1, ВО = 3 , СО = 5. Згідно перетину синусів для трикутника АОВ маємо , для трикутника АОС маємо .
Нехай , тоді , . З рівності А+С = 1800 - В маємо , звідки
,
Один корінь цього рівняння . Більше дійсних коренів немає.
Отримали, що
Задача 12. Довести, що медіана, проведена до більшої сторони трикутника, утворює зі сторонами, які її заключають, кути, величиною кожного з них не менше половини найменшого кута трикутника.
Розв'язання.
Нехай в ?АВС сторони зв'язані співвідношенням а
Loading...

 
 

Цікаве