WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Оцінки за методом найменших квадратів - Реферат

Оцінки за методом найменших квадратів - Реферат


Реферат на тему:
Оцінки за методом найменших квадратів
Нехай знову спостерігається значення випадкової величини вигляду (1). Введемо критерій якості оцінювання у вигляді
Тут L L , причому - невід'ємні оператори, - узагальнений розв'язок рівняння (2) при .
Означення 1. Оцінкою вектора за узагальненим методом найменших квадратів будемо називати вектор , який знаходиться з рівняння (2) при , де .
В тому випадку, коли , відповідну оцінку називають оцінкою, отриманою за методом найменших квадратів.
Нехай L і . Покажемо тоді, що має місце
Твердження 1. Оцінка функції , отримана за методом найменших квадратів, співпадає з найкращою лінійною оцінкою і при цьому
Доведення. Оскільки функціонал строго випуклий, неперервний і задовольняє умову при , то існує єдиний елемент , який може бути знайдений з умови
звідки , а функція знаходиться із розв'язку системи рівнянь
(1)
Порівнюючи цю систему рівнянь із системою рівнянь для найкращої лінійної оцінки (7), бачимо, що вони співпадають.
Далі,
З системи рівнянь (1) одержимо, що
Отже,
що і треба було довести. р
Припустимо далі, що в задачі (2) невідомі також деякі (можливо і всі) коефіцієнти . Тоді можна поставити задачу про відшукання оцінок цих коефіцієнтів і функції за методом найменших квадратів. На прикладі задачі про оцінку функції покажемо, які результати можна тут отримати.
Нехай - обмежена замкнена опукла множина у просторі . Покажемо, що має місце наступна
Теорема 1. Множина , де , непорожня.
Доведення. Нехай - мінімізуюча послідовність. Виділимо із послідовності слабко збіжну в підпослідовність . Покажемо, що послідовність - обмежена у просторі :
Звідки , а,отже, , де - деяка константа, але
Оскільки обмежений оператор, то
З цих співвідношень одержимо, що , де .
Далі, з першого рівняння системи одержимо, що
Отже, .
З обмеженності норм випливає, що можна виділити слабко збіжну підпослідовність у просторі , для якої ми залишимо ті ж позначення, тобто , але тоді отримаємо, що і збігаються сильно до і відповідно.
Покажемо, що і є розв'язками системи рівнянь (5.1) при , але це випливає із співвідношень
оскільки слабко збігається до , а сильно збігається до у просторі .
Нарешті зауважимо, що
що і треба було довести.
Наведемо далі необхідні умови для відшукання оптимального коефіцієнта .
Теорема 2. Нехай . Тоді , , де знаходяться з розв'язку системи рівнянь
де
Доведення. Можна показати, що функціонал диференційовний у сенсі Гато і оскільки , то
де визначається з розв'язку системи рівнянь
(2)
Перетворимо далі вираз . З першого рівняння системи (2) при отримаєм
З другого рівняння системи ( 5.2) при
Покладемо у другому рівнянні системи (5.2) , і тоді
Знову поклавши у першому рівнянні системи (2) при , одержимо, що
Враховуючи всі ці вирази, будемо мати, що
звідки
р
Наслідок. Нехай майже скрізь виконується нерівність , де - вимірні майже скрізь обмежені функції. Тоді необхідні умови для можна переписати у вигляді
м. с. на
Зауважимо, що якщо ввести множини
і покласти, що міра Лебега дорівнює нулеві, то
майже скрізь.
Loading...

 
 

Цікаве