WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Оцінювання в рівняннях еліптичного типу - Реферат

Оцінювання в рівняннях еліптичного типу - Реферат


Реферат на тему:
Оцінювання в рівняннях еліптичного типу
Припустимо, що спостерігається значення випадкової величини з гільбертового простору , яка має вигляд
(1)
Тут - випадкова величина з простору з кореляційним оператором і нульвим середнім, L - узагальнений розв'язок лінійного стохастичного рівняння
(2)
де - випадкова величина з гільбертового простору з кореляційним оператором і нульовим середнім, L , - обмежена область простору з кусково-гладкою границею ,
і на коефіцієнти накладені ті ж обмеження, що і в §3.
Будемо шукати оцінку лінійного функціоналу
(3)
у вигляді
(4)
Зауважимо, що оскільки , де є розв'язком рівняння
а літерою позначено середнє значення, то при відшуканні оптимальних оцінок з умови
ми можемо, не обмежуючи загальності, вважати, що , і, отже, .
Припустимо, що в оператора існує обмежений обернений, не корельована з . Покажемо тоді, що має місце
Теорема 1. Оптимальна оцінка функціоналу зображується у вигляді
(5)
При цьому похибка оцінювання дорівнює
(6)
Тут , функції знаходяться з систем рівнянь
(7)
(8)
- канонічні ізоморфізми просторів і на спряжені.
Доведення. Покажемо спочатку, що має місце
Лема. Задача оптимального оцінювання еквівалентна задачі оптимального керування рівнянням
(9)
з критерієм якості вигляду
(10)
і при цьому
Доведення леми. Зауважимо, що
але
звідки
що і треба було довести.
Доведення теореми. Користуючись результатами § 3, одержимо, що існує єдиний розв'язок задачі оптимального керування (9), (10), тобто існує єдиний вектор , який має вигляд , де функція визначається із системи рівнянь (8), і при цьому .
Покажемо тепер, що справедлива рівність
де знаходиться з розв'язку системи рівнянь (7). З цією метою домножимо перше з рівнянь системи (7) на функцію і проінтегруємо по області . Тоді отримаємо, що
З другого рівняння системи (4.8)
Використовуючи друге рівняння системи (4.7), одержимо
Враховуючи ці співвідношення, будемо мати, що
Покажемо далі, що . Використовуючи означення узагальненого розв'язку, а також друге рівняння системи (8), отримаємо, що
але
З цих співвідношень одержимо потрібну рівність, що і завершує доведення теореми.
Зауваження 1. Система рівнянь (7) у просторі має єдиний розв'язок. Це випливає з того факту, що якщо ввести функціонал
де є узагальненим розв'язком рівняння
то система рівнянь (7) є системою рівнянь Ейлера для функціоналу , який має єдину точку мінімуму, рівну .
Наслідок 1. Функція , яка визначається із системи рівнянь (7), є оптимальною лінійною середньоквадратичною оцінкою розв'язку задачі (4.2) за спостереженням за вектором вигляду (1), і при цьому похибка оцінювання дорівнює
(11)
Нехай простір скінченновимірний, тобто , де
(12)
де - відомі функції, - некорельовані випадкові величини, .
Покажемо в цьому випадку, що справедлива
Твердження 1. Мають місце рівності
де функції знаходяться з рівнянь
, а числа , є розв'язками системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Доведення. Запишемо в нашому випадку системи рівнянь (7), (8)
(13)
(14)
Позначимо через і величини .
З систем рівнянь (13), (14) отримаємо, що
Враховуючи далі вигляд і , одержимо означення цих чисел - систему лінійних алгебраїчних виразів.
Покажемо далі, що матриця з елементами , невід'ємно визначена:
Отже, матриця додатно визначена, а тому система рівнянь для має єдиний розв'язок. л
Припустимо далі, що вектор-функція належить обмеженій слабко замкненій множині простору . Розглянемо задачу про вибір вектора , який дає найменшу похибку оцінювання лінійного функціоналу , тобто задачу
Покажемо, що має місце
Теорема 2. Множина непорожня.
Доведення. Нехай - мінімізуюча послідовність, тобто . З послідовності виділимо слабко збіжну підпослідовність, для якої залишимо минулі позначення. Оскільки слабко замкнена, то границя цієї підпослідовності буде належати множині .
Покажемо, що , тобто що .
Зауважимо, що з теореми 1 випливає, що , де визначається з розв'язку системи рівнянь (13) при . Тому досить показати, що слабко збігається до .
Позначимо через вектор з компонентами .
Зауважимо далі, що
де - розв'язок першого з рівнянь системи (13) при . Звідси одержимо, що
а, отже, вектор обмежений.
Покажемо тепер, що з послідовності можна виділити слабко збіжну в просторі підпослідовність:
, але
а
Звідси одержимо, що .
Нехай тепер збігається слабко до функції у просторі . Із другого рівняння системи (4.13) одержимо, що слабко збігається до функції у просторі , а оскільки простір цілком неперервно вкладається у простір , то сильно збігається в до .
Покажемо, що . Оскільки , то . Отже, якщо перейти до границі у співвідношеннях
отримаєм, що є розв'язками рівнянь
що в силу означення узагальненого розв'язку еквівалентне системі рівнянь (13) при , і тому
що і потрібно було показати.
Наведем необхідні умови для екстремальної точки .
Теорема 3. Нехай - опукла множина. Тоді має місце співвідношення
(15)
де визначається з розв'язку системи рівнянь (13) при .
Доведення. Оскільки
то
Звідси, переходячи до границі при одержимо, що
де - диференціал Гато функціоналу . Знайдемо вигляд цього диференціалу. За означенням,
Позначимо через вектор . З рівнянь (13) випливає, що знаходиться з наступної системи рівнянь
(16)
Перетворимо далі вираз для . Із системи рівнянь (13) отримаєм
Далі, з (13) і (16)
Змінюючи порядок інтегрування, отримаємо, що
звідки
Отже, отримали потрібну умову.
Наслідок. Нехай майже скрізь, де - опукла обмежена замкнена множина у просторі . Тоді можна показати таким же чином, як і в §3, що умову (15) можна записати у вигляді
м. с.
або у вигляді
де
Зауваження. Нехай . Тоді з принципу мінімума для еліптичних рівнянь випливає, що майже скрізь, а, отже, у тому випадку, коли , вираз для визначення запишеться у вигляді
звідки випливає, що є сталою в усій області і, отже, найкращі виміри мають вигляд
Так, наприклад, якщо м. с., то з нерівності
одержимо, що
Обчислимо у даному випадку похибку оцінювання. Із системи рівнянь (13) випливає, що
де
- розв'язок системи рівнянь (13) при . Таким чином, похибка оцінювання дорівнює
Loading...

 
 

Цікаве