WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Оптимальне керування в рівняннях еліптичного типу - Реферат

Оптимальне керування в рівняннях еліптичного типу - Реферат

слабонапівнеперервний знизу на просторі . Тоді існує принаймні одне оптимальне керування варіаційною нерівністю (3.3).
Доведення. Нехай un мінімізуюча послідовність. Вилучимо з послідовності функцій слабко збіжну до функції підпослідовність. Зрозуміло, що існує вектор такий, що Покажемо, що вектор є оптимальним керуванням. Позначимо через розв'язок варіаційної нерівності (3.3), який відповідає керуванню un. Тоді неважко побачити, що справедливе співвідношення
Враховуючи далі нерівність Коші-Буняковського, а також неперервність оператора форми і обмеженість множини F одержимо, що існують невід'ємні константи С1 і С2 такі, що
З цієї нерівності випливає обмеженість послідовності Зпослідовності виберемо слабозбіжну в просторі підпослідовність. Границю цієї підпослідовності позначимо через Будемо також вважати, що відповідна підпослідовність функцій збігається до функцій відповідно. Покажемо спочатку, що - розв"язок нерівності (3) при Зауважимо, що буде сильно збігатися до в просторі а буде сильно збігатися до в просторі і в силу слабкої напівнеперервності знизу форми Враховуючи також, що
одержимо
тобто є розв'язком нерівності (3) при Нарешті, з співвідношення випливає, що є оптимальним керуванням. л
Зауваження 4. Для варіаційних нерівностей можна також довести теореми, подібні теоремам 2, 3.
Приведемо далі співвідношення, яким будуть задовільняти оптимальні керування для частинних випадків. Припустимо спочатку, що де L(U,L2(G)), U - рефлексивний банаховий простір, а керування u належить замкненій опуклій підмножині U1 простору U, причому критерій якості можна представити у вигляді
Тут і - опуклі диференційовні за Гато слабонапівнеперервні знизу функціонали на просторі і U відповідно. Будемо також вважати, що якщо розв'язок задачі (1), (2) то похідна Гато функціоналу при належить простору Покажемо тоді, що має місце
Теорема 5. Множина оптимальних керувань є непустою замкненою підмножиною простору U, яка співпадає з сукупністю розв'язків варіаційної нерівності
(4)
де функція z(x) визначається з розв'язку рівняння
(5)
Тут
Доведення. Неважко бачити, що функціонал є опуклим слабонапівнеперервним знизу і, отже, множина - непорожня, опукла і замкнена (див.також §2).
Зауважимо далі, що диференціал Гато функціоналу можна представити у вигляді
Дійсно
Тут - розв'язок задачі
(6)
З означення узагальнених узагальнених розв'язків рівнянь (5) і (6) випливає, що
Користуючись відповідним результатом §2 одержимо, що множина співпадає з множиною розв'язків нерівності
.
Враховуючи вид диференціала одержимо потрібне співвідношення. л
Зауваження 5. Якщо умова обмеженості множини U1 замінити умовою то теорема 5 також залишається справедливою, а в тому випадку, коли U1=U варіаційну нерівність (4) слід замінити рівнянням
(7)
Зауваження 6. Якщо функціонал J2(u) не диференційовний, то співідношення (4) заміняється нерівністю
(8)
Зауваження 7. Позначимо через u(z) розв'язок варіаційної нерівності (3.4). Тоді оптимальне керування може бути знайдено з розв'язку системи нелінійних рівнянь з частинними похідними
(9)
В якості наслідку з теореми (3.5) розглянемо один частковий випадок. Нехай де функціонал - опуклий, слабонапівнеперервний знизу з похідною Гато, яка належить простору
Покажемо тоді, що має місце
Твердження 1. Оптимальне керування u(z) можна представити у вигляді
а якщо u1(x) < u < u2(x), то визначається з співвідношення де функція z(x) знаходиться з розв'язку системи рівнянь
(10)
Доведення. Зауважимо спочатку, що множина U1 обмежена, опукла і замкнена в просторі Покажемо, наприклад, замкненість. Нехай послідовність un(x) збігається в просторі до функції u(x). З послідовності un(x) вилучимо підпослідовність, яка буде збігатися майже всюди до u(x), але тоді в нерівності можна перейти до границі і одержати, що функція u(x) також задовольняє цю нерівність. Далі з теореми (3.5) випливає, що оптимальне керування знаходиться з розв'язку варіаційної нерівності
(11)
Покажемо тепер, що справедлива
Лема 1. Нехай функція f(x) належить простору Lq(G), K - замкнена опукла множина в R1. Тоді нерівність майже всюди, еквівалентна нерівності майже для всіх
Доведення леми проведемо в припущені, що підинтегральна функція обмежена і неперервна на множині G. Нехай позначимо через Sn(x0) послідовність сфер з центром в точці x0 і радіусом а V(Sn(x0)) об'єми відповідних сфер.
З оцінки
де mn, Mn - точна верхня і точна нижня грань підинтегральної функції на сфері Sn(x0), випливає, що точки
Візьмемо далі функцію v(x) у вигляді v=xnv1+[1-xn(x)]u, де xn(x) - характеристична функція сфери Sn(x0), а v1(x) - неперервна функція на G, причому Тоді
Після переходу до границі при одержимо
Оскільки x0 довільна точка G, то лема доведена.
Продовжимо далі доведення теореми. Використовуючи лему, нерівність (3.11) перепишемо увигляді
Звідки
при
при
при u1(x) < u 0. Тоді співвідношення для оптимального керування набудуть вигляду
Нарешті розглянемо той випадок, коли функціонал має вигляд
,
де - обмежена множина в просторі - опуклий слабонапівнеперервний знизу диференційовний за Гато функціонал на рефлексивному банаховому просторі U, причому Будемо шукати оптимальне керування з умови
Покажемо, що має місце
Твердження 2. Для оптимального значення критерія якості справедливо представлення
де функція z(x) і вектор визначаються зі співвідношень
а функція є розв'язком рівняння
Тут - канонічний ізоморфізм простору U на спряжений.
Доведення. Розглянемо на множині функціонал K(u,v) вигляду
Зауважимо, що опуклий слабонапівнеперервний знизу по змінній u, лінійний по v функціонал. Згідно з теоремою про існування сідлової точки (див. §2) має місце рівність
Представимо функцію у вигляді де - розв'язок рівняння Тоді якщо ввести функцію z(x) як розв'язок рівняння то користуючись означенням узагальненого розв'язку рівняння неважко показати, що

 
 

Цікаве

Загрузка...