WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Оптимальне керування в рівняннях еліптичного типу - Реферат

Оптимальне керування в рівняннях еліптичного типу - Реферат


Реферат на тему:
Оптимальне керування в рівняннях еліптичного типу
Нехай G - обмежена область в Rn з кусково-гладкою границею Розглянемо в G рівняння
(1)
з граничними умовами
(2)
Тут
Будемо також вважати, що вектор u належить множині керувань U, а коефіцієнти вимірні майже всюди обмеженіфункції, причому майже всюди невід'ємні і існує що
Згідно з теоремою 1 при в просторі існує єдиний узагальнений розв'язок рівняння (1) з граничними умовами (2).
На просторі введемо функціонал який будемо називати критерієм якості керування u.
Означення 1. Нехай ?(x,u) розв'язок задачі (1), (2). Вектор , на якому досягається мінімум критерія якості будемо називати оптимальним керуванням, а задачу
задачей оптимального керування для рівняння (1) з граничними умовами (2).
Розглянемо теореми існування оптимального керування для часткових випадків. Припустимо далі, що від керування u залежить лише права частина рівняння (1). Покажемо, що має місце
Теорема 1. Нехай множина обмежена і слабко замкнена в просторі функціонал слабонапівнеперервний знизу на просторі . Тоді існує принаймні одне оптимальне керування.
Доведення. Нехай un мінімізуюча послідовність. Вилучимо з послідовності функцій fn(x)=f(x,un) слабозбіжну підпослідовність (тут і надалі залишимо у підпослідовності той же індекс n), тобто і оскільки множина F слабко замкнена, то а це означає, що існує вектор такий, що Покажемо, що вектор є оптимальним керуванням.
Позначимо через розв'язок задачі (1), (2) з правою частиною f(x,un). З нерівності
(див. теорему 3) випливає, що послідовність обмежена в просторі Із послідовності вилучимо підпослідовність, яка слабко збігається до функції , та перейдемо в співвідношенні
до границі при Враховуючи слабку збіжність послідовностей одержимо, що функція є розв'язком задачі (1),(2) при
Далі зауважимо, що в силу слабкої полунеперервності знизу функціоналу J(?)
а оскільки un - мінімізуюча послідовність, то
З цих співвідношень одержимо, що - оптимальне керування. л
Зауваження 1. Візьмемо функціонал J(?) у вигляді
де F(x,y) - необмежена вимірна функція на множині майже для всіх х полунеперервна знизу по змінній y. Покажемо, що функціонал J(?) слабонапівнеперервний знизу. Нехай - слабозбіжна послідовність в просторі Оскільки цілком неперервно вкладається в то буде збігатися сильно в а це означає, що з послідовності можна виділити майже всюди збіжну підпослідовність, яка прямує до деякої функції Якщо далі скористуємося лемой Фату та напівнеперервністю знизу функції F(x,y), то одержимо
що і потрібно було показати.
Припустимо, що U - банаховий рефлексивний простір, функціонал слабонапівнеперервний на просторі причому виконується одна з двух умов:
1) де - розв'язок задачі (1),(2);
2) вектор u належить обмеженій слабозамкненій множині U1 простору U.
Тоді, якщо послідовність f(x,un) слабко збігається до функції f(x,u) в L2(G) для будь-якої слабозбіжної до вектора u послідовності un, то справедлива
Теорема 2. В просторі U існує принаймні одне оптимальне керування.
Доведення. Нехай, наприклад, виконується умова 1). Тоді, якщо un мінімізуюча послідовність, то з цієї умови випливає її обмеженість. Оскільки простір U рефлексивний, то з послідовності un можна виділити слабозбіжну підпослідовність, тобто В силу умов теореми послідовність fn(x)=f(x,un) буде слабко збіжною до функції а отже (див.доведення теореми 1) в Враховуючи слабку полунеперервність знизу функціонала одержимо, що
Звідки випливає, що - оптимальне керування. л
Зауваження 2. Теореми, подібні теоремам 1 і 2 можна довести і в тому випадку, коли від керування u залежить також функція
Розглянемо далі той випадок, коли від керування залежить коефіцієнти еліптичного рівняння.
Для того, щоб спростити викладки припустимо, що від керування u залежить лише функції і тобто = (x,u), = (x,u).
Теорема 3. Нехай критерій якості заданий у вигляді де слабонапівнеперервний знизу функціонал визначений на просторі Припустимо також, що множина обмежена і слабкозамкнена в просторі Тоді існує принаймні одне оптимальне керування.
Доведення. Нехай un - мінімізуюча послідовність, а - відповідна послідовність розв'язків задачі (1), (2). Згідно означенню узагальненого розв'язка
Враховуючи далі обмеженість лінійного функціоналу в просторі і коерцитивність форми одержимо
З цієї нерівності випливає, що норми обмежені і тому з послідовності
можна виділити слабко збіжну в просторі підпослідовність, яка буде сильно збігатися (в силу цілком неперервності вкладення в ) в просторі . Позначимо границю підпослідовності через
Вилучимо з послідовності слабко збіжну до підпослідовність. Оскільки - слабко замкнена множина, то і, отже, існує вектор такий, що Покажемо, що - оптимальне керування. Покажемо спочатку, що функція буде розв'язком задачі (3.1), (3.2) при Для цього помітимо, що справедлива рівність Оскільки переводить слабко збіжну послідовність з простору в сильнозбіжну послідовність простору (див. []), то
Крім того, в силу слабкої збіжності в послідовності та сильної збіжності цієї ж послідовності в
Отже , Звідки тобто функція є розв'язком задачі (3.1), (3.2).
Враховуючи далі слабку напівнеперервність функціоналу одержимо, що
а це означає, що - оптимальне керування. л
Зауваження 3. Припустимо, що критерій якості слабонапівнеперервний знизу на просторі - рефлексивний банаховий простір, послідовність функцій слабко збігається до функції в просторі для будь-якої слабозбіжної до вектора u послідовності, причому або або вектор u належить обмеженій слабозамкненій множині простору U. Тоді також можна показати, що існує принаймні одне оптимальне керування.
Насамкінець розглянемо питання про існування оптимального керування в задачах, які описуються варіаційними нерівностями виду:
(3)
Тут
V - опукла, замкнена множина в просторі .
Теорема 4. Припустимо, що множина обмежена і слабко замкнена в просторі , функціонал
Loading...

 
 

Цікаве