WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Екстремальні задачі в нормованих просторах - Реферат

Екстремальні задачі в нормованих просторах - Реферат

опуклих функціоналів. При одержимо нерівність (11). Нехай Тоді при і що і потрібно було показати.
Нехай U - опукла множина банахового простору X , F(x) - опуклий функціонал. Справедливе
Твердження 5. Множина є опуклою, причому якщо F(x) строго опуклий, то Е містить не більше однієї точки.
Доведення. Нехай Тоді тобто Якщо F(x) - строго опуклий, то що неможливо, коли
Твердження 6. Нехай F(x) - функціонал, визначений в банаховому просторі Х, причому F(x)=F1(x)+F2(x), де F1(x) - опуклий, диференційовний за Гато функцірнал, F2(x) - опуклий функціонал, U - опукла множина, Тоді наступні три умови еквівалентні:
1)
2)
3)
Доведення. Нехай Тоді Звідки використовуючи опуклість F2(x) одержимо Звідки При одержимо умову 2.
Нехай виконується умова 2. Тоді з опуклості функціоналу F1(x) випливає нерівність Приймаючи до уваги нерівність 2) будемо мати, що тобто Подібним чином доводиться еквівалентність 1) і 3). л
Зауваження. Співвідношення 2) і 3) називають варіаційними нерівностями.
Нехай Х і Y - банахові простори, F(x) - неперервний опуклий функціонал, визначений на просторі Х. Розглянемо наступну задачу де Має місце
Твердження 7. Припустимо, що множина замкнена в Y. Тоді існує таке число і вектор що де - простір, спряжений до Y, і якщо D=Y, то =1.
Тут символом позначено значення лінійного функціоналу l на елементі х.
Нехай далі Х - лінійний простір, U1 - деяка опукла множина із Х, - опуклі функціонали. Розглянемо наступну задачу
. (12)
Функцію називають функцією Лагранжа, а числа - множниками Лагранжа.
Теорема Куна-Таккера. Нехай - розв'язок задачі (2.12), тоді знайдуться невід"ємні множники Лагранжа одночасно не рівні нулю і такі, що
1. .
2. .
Якщо то умови 1, 2 достатні для того, щоб була розв'язком задачі (2.12), а для того, щоб достатньо, щоб знайшлася точка така, що
Доведення. Не обмежуючи загальності будемо вважати, що В противному разі ми можемо ввести функцію
Введемо множину де . Покажемо спочатку, що множина В не порожня та опукла. Легко бачити, що якщо то оскільки в цьому разі можемо покласти Нехай а х1 та х2 такі вектори із U1, що
Покладемо Тоді та
тобто для всякого а значить множина В - опукла. Крім того Якби то існував би вектор такий, що Згідно теоремі відділення для скінченновимірних просторів знайдуться такі числа що для довільного вектору буде виконуватися нерівність
(13)
Покажемо далі, що ці множники невід'ємні. Покладемо Тоді . Оскільки - довільне додатнє число, то
Доведемо, що виконується умова 2. Якщо то Нехай Покладемо в (13) Очевидно, що точка із такими координатами належить множині В. Але тоді із (2.13) випливає, що Оскільки - довільне додатнє, то або Враховуючи, що в (13) , одержимо, що а значить
Нехай Вектор із координатами при належить множині В, а значить для такої точки виконується нерівність (13), тобто і в силу довільності Припустимо, що а значить без обмеження загальності можемо покласти Оскільки то для одержимо Із пункту 1 теореми випливає, що а значить є розв"язком задачі.
Нехай в деякій точці але Але тоді в силу того, що що суперечить пункту 1 теореми.
Наслідок. Нехай а значить можна взяти Тоді
Ця рівність випливає із співвідношень
Нехай U і V - деякі множини банахових просторів X і Y відповідно. Позначимо через R(u,v) відображення множини в R1 . Розглянемо наступну задачу
Твердження 8. Має місце нерівність
Доведення. Оскільки то
Звідки і отримуємо потрібну нерівність. л
Означення 9. Пара називається сідловою точкою функціоналу R(u,v), якщо
Можна показати, що функціонал R(u,v) має сідлову точку тоді і тільки тоді, коли
Означення 10. Функціонал називається угнутим, якщо і виконується нерівність
(14)
Сформулюємо теорему, яка гарантує існування сідлової точки.
Теорема 6. Нехай X і Y - рефлексивні банахові простори, U, V - непусті, обмежені, замкнені, опуклі множини, функціонал R(u,v) - угнутий по v і напівнеперервний зверху та опуклий і напівнеперервний знизу. Тоді R(u,v) має принаймні одну сідлову точку.
Зауваження. Замість умов обмеженості множин U і V в теоремі 6 можна вимогати відповідно наступні умови:
1. Існує таке, що при
2. Існує таке, що при
Припустимо далі, що Х - дійсний гільбертовий простір. Розглянемо функціонал F(x) вигляду F(x)=a(x,x)-2l(x), де a(x,x) - квадратична форма, відповідна до білінійної симетричної неперервної форми a(x,y), l(x) - неперервний функціонал.
Означення 11. Кажуть, що форма a(x,y) коерцитивна, якщо існує константа c>0 така, що
Твердження 9. Нехай U - опукла замкнена множина. Тоді існує єдиний вектор який може бути знайдений із розв'язку варіаційної нерівності
(15)
або нерівності
(16)
Доведення. Функціонал F(x) - опуклий, неперервний, а отже, і слабонапівнеперервний знизу, причому якщо множина не обмежена, то при Беручи до уваги далі, що DF(x,v)=2[a(x,v)-l(v)], а також твердження 5 і 6 одержимо справедливість сформульованих тверджень.
Наслідок. Нехай U=X. Тоді існує єдиний вектор x, який задовольняє співвідношенню
(17)
Дійсно, беручи до уваги необхідні умови екстремуму для функціоналу F(x) одержимо, що існує єдиний елемент x такий, що щоприводить до умови (17).
Приклад 6. Нехай X=W1(G), де G - обмежена область з кусково-гладкою границею.
- лінійний неперервний функціонал на зокрема де задовольняють тим же обмеженням, що і в §1, причому
Оскільки форма є симетричною, неперервною і коерцитивною, то з наслідка до твердження 9 одержимо, що існує єдина функція така, що
(18)
тобто існує єдиний узагальнений розв'язок третьої крайової задачі.
Покажемо, що в тому випадку, коли форма a(x,y) може бути не симетричною, то має місце
Теорема 7 (Лакса-Мільграма). Нехай Х - гільбертовий, сепарабельний простір, a(x,y) - неперервна білінійна коерцитивна форма на X, l(x) - неперервний лінійний функціонал. Тоді існує єдиний вектор х такий, що виконується співвідношення
(19)
Доведення. Нехай - базис в Х. Позначимо через x(n) і y(n) вектори де b1,…,bn такі, що при Виберемо числа сk з умови
Тоді для c1,…,cn одержимо наступну систему лінійних алгебраїчних рівнянь
Оскільки форма a(x,y) коерцитивна, то матриця з елементами додатньо визначена, а значить ця система має єдиний розв'язок.
Зауважимо далі, що з нерівності одержимо Отже, послідовність x(n) обмежена і тому з неї можна вилучити слабко збіжну підпослідовність, за якою залишимо ті ж позначення. Тоді в силу неперервності форми a(x,y) і сильної збіжності y(n) до y одержимо, що числова послідовність a(x(n),y(n)) збігається до форми де - вектор, до якого збігається послідовність x(n). Оскільки то одержимо, що задовольняє співвідношенню
(20)
Покажемо єдиність вектора . Нехай існують два вектора х1 і х2, які задовільняють співвідношенню (20). Тоді
л
Зауваження 1. З теореми 7 випливає, що вектор задовольняє нерівності
Введемо далі поняття канонічного ізоморфізму для гільбертових просторів. Нехай Х - гільбертовий простір, а х і y - довільні вектори із Х. Розглянемо спочатку добуток (y,x). При фіксованому y цей скалярний добуток являє собою лінійний неперервний функціонал по x, тобто де - спряженому простору до Х. Відображення є лінійним і неперервним, тобто Оператор будемо називати канонічним ізоморфізмом гільбертового простору Х на спряжене. Зауважимо, що для оператора існує обмежений обернений оператор, який відображає простір на Х. В тому випадку, коли простір Х ототожнюють зі спряженим, покладають - тотожньому перетворенню.
Приклад 7. Нехай де G - обмежена область з куcково-гладкою границею. Через позначимо гільбертовий простір спряжений до
Тоді, згідно наслідка до твердження 9 будемо мати, що для будь-якого функціоналу існує єдина функція така, що
Отже відображення де - визначається як узагальнений розв'язок рівняння
однозначно визначає оператор
Loading...

 
 

Цікаве