WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Екстремальні задачі в нормованих просторах - Реферат

Екстремальні задачі в нормованих просторах - Реферат


Реферат на тему:
Екстремальні задачі в нормованих просторах
Нехай X та Y банахові простори над полем дійсних чисел і F - відображення, яке діє з X в Y та визначене на деякій відкритій множині U простору X. Умовимося позначати через множину лінійних обмежених операторів, які переводять простір X в Y.
Означення 1. Відображення F називається диференційовним за Фреше в точці якщо існує оператор такий що
(1)
де при
Вираз називають диференціалом Фреше в точці x, а оператор - сильною похідною (або похідною Фреше). Будемо позначати цю похідну через
Означення 2. Диференціалом Гато відображення F в точці x називають границю
(2)
де збіжність розуміють по нормі простору Y.
Відповідну границю, якщо вона існує, будемо позначати символом DF(x,h). В тому випадку, коли існує оператор такий, що вираз називають слабою похідною (або похідною Гато).
Зауважимо, що з співвідношення (2) можна одержати наступний вираз для обчислення дифференціала Гато
(3)
Можна показати, що з диференційовності за Фреше випливає диференційованість за Гато, але з диференційовності за Гато не випливає диференційованість за Фреше.
Має місце наступна
Теорема 1. Нехай похідна Гато існує в деякому околі точки x0 і являє собою в цьому околі неперервну операторну функцію. Тоді в точці x0 існує похідна Фреше, причому
Нехай X, Y, Z - нормовані простори, U - окіл точки V - окіл точки - відображення U в V, а F - відображення V в Z і
Справедлива наступна
Теорема 2. Припустимо, що F(y) диференційовна за Фреше в точці y, а відображення диференційовне за Фреше (Гато) в точці x. Тоді відображення I(x) диференційовне за Фреше (Гато), причому відповідний диференціал має вигляд
(4)
Означення 3. Нехай відображення F(x,y) визначено в околі U точки і переводить U в Z . Якщо відображення F(x,y) при фіксованому y диференційовне в точці x (за Фреше, Гато), то його похідна називається частковою похідною по х відображення F в точці (x,y) і позначається Fx(x,y). Аналогічно визначається часткова похідна по y Fy(x,y).
Теорема 3 (про повний диференціал). Нехай відображення F(x,y) має в кожній точці околу U часткові похідні Fx(x,y), Fy(x,y), в розумінні Гато, які є неперервними відображеннями в U (в розумінні рівномірної операторної топології). Тоді F диференційовне за Фреше в цій точці, причому
(5)
Приклад 1. Нехай X - гільбертовий простір F(x)=(Qx,x), і Q - симетричний оператор.
Оскільки то Звідки Далі і
Отже,
Означення 4. Нехай F(x) деяке відображення простору X в Y. Будемо казати, що в точці існує друга похідна (у розумінні Фреше), якщо в деякому околі цієї точки відображення диференційовне (в розумінні Фреше).
Другу похідну будемо позначати символом
Очевидно, що
Якщо існує то справедлива формула
(6)
Вираз називають другим диференціалом Гато.
Приклад 2. Знайдемо другу похідну від функції F(x), яка визначена в прикладі 1.
Отже
Нехай F(x) - функціонал визначений на банаховому просторі X, який приймає дійсні значення. Задачу про відшукання точної нижньої межі або точної верхньої межі на множині будемо записувать у вигляді
(6)
або у вигляді
(7)
Якщо U=X, то задача (6) або (7) називається задачей без обмежень.
Позначимо через множину точок на яких досягається точна нижня межа функціонала F(x). Аналогічний сенс має позначення
Зауважимо, що будь-яка задача на максимум для функціонала F(x) може бути зведена до задачі мінімізації, якщо замінити функціонал F(x) на -F(x).
Означення 5. Точка x0 називається точкою мінімума для функціоналу F(x), якщо існує такий окіл цієї точки, що для всіх х з вказаного околу.
Аналогічно визначається точка максимуму для функціоналу F(x). Точки мінімуму або максимуму називають екстремальними точками.
Покажемо, що справедливо
Твердження 1. Нехай існує диференціал Гато функціоналу F(x) в околі екстремальної точки x0. Тоді має місце співвідношення
(8)
Доведення. Нехай t - досить мале число. Тоді або для будь-яких досить малих t, тобто точка нуль є екстремальною для диференційовної функції f(t). Звідки але що і потрібно було довести.
Зауваження 1. Нехай існує похідна Гато функціоналу F(x) в околі точки x0. Тоді умову (2.8) можна переписать в вигляді
Перейдемо далі до формулювання умов екстремуму. В тому випадку, якщо простір X - скінченновимірний, а в точці перший диференціал функції F(x) відображається в нуль, то достатньою умовою екстремуму є додатня або від'ємна визначеність квадратичної форми
Для нескінченномірних просторів ця умова вже не є достатньою. Приведемо відповідний
Приклад 3. Нехай в сепарабельному гільбертовому просторі H з базисом l1, …, lk,… визначений функціонал
Тоді
Зрозуміло, що F(0)=0, DF(0,h)=0,
Візьмемо точку , для якої Отже і оскільки то в будь-якому околі точки нуль існує точка така,що F( )0, що для Тоді точка х0 є точкою мінімуму.
Тут символом позначений квадратичний функціонал, який для гільбертового простору має вигляд:
Приклад 4. Нехай Х - гільбертовий простір. F(x)=(Qx,x)-2(l,x), де причому для деякої константи С>0. Тоді
Отже точка є точкою мінімуму.
Означення 6. Функціонал F(х), визначений на множині U банахового простору X називається слабонапівнеперервним знизу на U, якщо для будь-якої послідовності xn з множини U, яка слабко збігається до
(9)
де x0 - довільна точка.
Функціонал F(х) називається напівнеперервним знизу, якщо (9) виконується коли xn сильно збігається до x0.
Відповідно, функціонал F(х) називається слабонапівнеперервним зверху, якщо -F(х) є слабонапівнеперервним знизу.
Покажемо, що має місце
Теорема 5. Нехай X - рефлексивний банаховий простір і U - обмежена слабко замкнута множина в цьому просторі. Тоді для слабонапівнеперервного на U функціоналу F(х) множина непорожня.
Доведення. Нехай xn - мінімізуюча послідовність з множини U, тобто Оскільки простір X - рефлексивний, а множина U - обмежена, то з послідовності xn можна вибрати слабозбіжну підпослідовність, яку ми будемо позначати тим же символом xn. Отже, і оскільки множина U - слабозамкнена, то Враховуючи співвідношення
одержимо, що що і потрібно було показати.
Зауваження. Умову обмеженості множини U в формулюванні теореми 5 можна замінити умовою при і
Розглянемо далі деякі властивості опуклих функціоналів.
Введемо множини і які називаються відповідно ефективною множиною і надграфом функціоналу F(х).
Означення 7. Функціонал F(х) для якого і всюди називається власним.
Означення 8. Функціонал F(х) називається опуклим, якщо epi F(x) - опукла множина.
Для власного функціоналу F(х) має місце
Твердження 2. Для опуклості власного функціоналуF(х) необхідно і достатньо, щоб для всіх х і y виконувалося співвідношення
(10)
де
В подальшому ми будемо розглядати лише власні функціонали і тому співвідношення (10) можна взяти за означення опуклості.
Означення 9. Функціонал F(х) називається строго опуклим, якщо в співвідношенні (10) нерівність строга і
Приведемо один критерій опуклості.
Твердження 3. Функціонал F(х) є опуклим тоді і тільки тоді, коли функція f(t)=F(x+ty) опукла по для
Доведення. Нехай f(t) опукла. Тоді
Подібним чином показується, що з опуклості F(х) випливає опуклість f(t). л
Зауваження 1. Твердження 3 справедливо і для строго опуклих функціоналів F(х).
Приклад 5. Нехай F(х)=(Qx,x)-2(l,x), де Х - гільбертовий простір. Тоді якщо і додатньо визначений, то функціонал F(х) - строго опуклий, оскільки в цьому випадку і функція f(t) - строго опукла.
Перерахуємо далі деякі властивості опуклих функціоналів.
Нехай - сімейство опуклих функціоналів. Тоді функціонал є опуклим.
Якщо опуклий функціонал F(х) - напівнеперервний знизу, то він є і слабонапівнеперервним знизу.
Покажемо далі, що справедливе
Твердження 4. Диференційовний за Гато опуклий функцірнал є слабонапівнеперервним знизу.
Доведення. Зауважимо спочатку, що має місце нерівність
(11)
Ця нерівність випливає з співвідношення
яке справедливе для
Loading...

 
 

Цікаве