WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Соболівські простори і узагальнені розв'язки крайових задач - Реферат

Соболівські простори і узагальнені розв'язки крайових задач - Реферат

функціонал обмежений у просторі , оскільки
За теоремою Ріса (про загальний вигляд лінійного обмеженого функціоналу в гільбертовому просторі) в просторі існує єдина функція , для якої
що і доводить існування і єдиність узагальненого розв'язку.
Нехай знову обмежена область має кусково-гладку границю . Через позначимо простір вимірних за мірою Лебега функцій, інтегровних з квадратом по границі . Для функцій з простору існує лінійний неперервний оператор , що відображує простір у простір , який називається слідом функцій на границі і позначається одним з символів або . Крім того, оператор переводить будь-яку обмежену множину функцій з в компактну в просторі .
Розглянемо далі наступну крайову задачу
(8)
де -й напрямний косинус зовнішньої нормалі до границі .
Задачу (8) називають третьою, а при другою крайовою задачею. Крім умов, накладених на коефіцієнти і , ми будемо припускати також, що - вимірна, невід'ємна і обмежена майже скрізь функція, а функція .
Означення 4. Під узагальненим розв'язкомзадачі (8) будемо розуміти таку функцію , яка задовольняє співвідношення
(9)
де
Має місце наступна теорема.
Теорема 3. Припустимо, що одна з функцій або не дорівнює нулеві тотожно. Тоді існує єдиний узагальнений розв'язок задачі (1.8) і при цьому має місце нерівність
де константа не залежить від функцій і .
Приклад 4. Розглянемо рівняння
і граничні умови
Покажемо, що узагальненим розв'язком цієї крайової задачі є функція
тобто що виконується співвідношення
Враховуючи, що , будемо мати
тобто
що і треба було довести.
Нехай - обмежена область з кусково-гладкою границею - бокова поверхня циліндра , тобто . Позначимо через і множини .
Розглянемо в циліндрі параболічне рівняння
(10)
з початковою умовою
(11)
В залежності від вигляду граничних умов
(12)
або
(13)
кажуть про першу або третю (другу при ) змішану крайову задачу для рівняння (10).
Нехай функція . Дамо наступне означення.
Означення 4. Функція , яка належить простору , називається узагальненим розв'язком першої змішаної крайової задачі для рівняння (10) з початковими умовами (11), якщо і виконується співвідношення
(14)
для будь-якої функції , яка задовольняє умовам .
Зауважимо, що співвідношення (1.14) можна переписати у вигляді
(15)
де - слід функції на множині .
Означення 6. Функція , яка належить простору , називається узагальненим розв'язком третьої (другої при ) змішаної крайової задачі для рівняння (10) з початковою умовою (11), якщо і такої, що , виконується співвідношення
(16)
Тут
- слід функції на границі ,
Нехай на функції накладені ті ж умови, що і раніше, а функції - вимірні інтегровні з квадратом у відповідних областях, тобто . Тоді має місце наступна теорема.
Теорема 4. Існує єдиний узагальнений розв'язок змішаних крайових задач і при цьому для першої крайової задачі виконується нерівність
(17)
а відповідно для другої і третьої крайової задачі виконується нерівність
(18)
де невід'ємні константи і не залежать від функцій .
Нехай а - узагальнені розв'язки першої і третьої змішаних крайових задач.Тоді для цих функцій має місце представлення
(19)
де ряд збігається у просторі і
а - узагальнені власні функції і власні числа першої і третьої крайових задач для оператора , тобто функції, які визначаються з співвідношень
(20)
відповідно.
Розглянемо далі деякі властивості функцій з простору і наведем еквівалентні означення узагальнених розв'язків змішаних задач.
Позначимо через простір, отриманий поповненням гільбертового простору за нормою
де . Простір - гільбертів, причому .
Зауважимо також, що якщо , то можна визначити білінійну форму , де
де - послідовність функцій з простору , яка збігається за нормою до функції . Очевидно, що якщо , то . У подальшому білінійну форму ми формально будемо записувати у вигляді
Нехай функція . Тоді цій функції ми можемо поставити у відповідність узагальнену функцію за правилом
Утотожнимо далі функцію з узагальненою функцією . Отже, для функції можна визначити похідні за часом за формулою
Введемо простір
Цей простір є гільбертовим з нормою
Крім того, має місце
Теорема 5. Простір вкладається у простір неперервних функцій на відрізку зі значеннями у просторі і цілком неперервно вкладається у простір .
Зауважимо також, що якщо , то має місце формула інтегрування за частинами
(21)
У цій відповідності ми скористалися формальним записом білінійної форми і у вигляді інтегралів.
Можна показати, що якщо є узагальненим розв'язком третьої (другої) змішаної крайової задачі, то і справедливе співвідношення
(22)
Крім того, якщо функція , яка належить простору , задовольняє співвідношенню (22) і , то вона є узагальненим розв'язком відповідної крайової задачі.
У більш загальному випадку справедлива
Теорема 6. Нехай задане сімейство білінійних форм неперервних на замкненому підпросторі простору і припустимо, що форма при фіксованих і вимірна на , причому існують такі константи і , що
де Тоді якщо , лінійний функціонал неперервний на просторі , то у просторі існує єдина неперервно залежна від вихідних даних функція , яка задовольняє співвідношення
(23)
У якості наслідків з цієї теореми можна одержати умови розв'язності змішаних крайових задач. Тка, якщо покласти , , , то отримаємо умову розв'язності першої змішаної крайової задачі, а якщо покласти , , , то одержимо умову розв'язності третьої крайової задачі.
Loading...

 
 

Цікаве