WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Соболівські простори і узагальнені розв'язки крайових задач - Реферат

Соболівські простори і узагальнені розв'язки крайових задач - Реферат


Реферат на тему:
Соболівські простори і узагальнені розв'язки крайових задач
Нехай відкрита обмежена множина (область) дійсного -мірного евклідового простору , який складається з точок .
Границею області будемо називати множину , де - замикання . Будемо говорити, що належить класу (тобто є разів неперервно диференційовною), якщо для кожної точки можна вказати кулю радіуса з центром в точці , таку що множину , при відповідній нумерації, можна задати рівнянням вигляду
де - разів неперервно диференційовна функція точки .
Куском границі будемо називати будь-яку відкриту множину . Будемо казати, що границя кусково разів неперервно диференційовна, якщо співпадає із замиканням об'єднання , де - деякий кусок на , який є зв'язною поверхнею класу .
У подальшому термін "кусково-гладка" або "досить гладка" границя будемо застосовувати у тому сенсі, що разів кусково-диференційовна, а число визначається тією задачею, яка буде розглядатися.
Приклад 1. Розглянемо множину вигляду . Тоді .
Позначимо через і множини
і - відкриті підмножини , тобто куски. Далі, ці куски є зв'язними поверхнями класу , оскільки функції нескінченно-диференційовні у своїй області визначення. Крім того, неважко помітити, що . З цих міркувань випливає, що кусково нескінченну кількість разів диференційовна поверхня. л
Для досить гладкої функції покладемо
де - вектор з цілочисловими невід'ємними компонентами. Символом будемо позначати порядок похідної, тобто .
Введемо далі простір як простір нескінченно-диференційовних функцій з компактним носієм, розташованим строго всередині . Таким чином, будь-яка функція з нескінченну кількість разів диференційовна, причому існує компактна множина , поза якої ця функція дорівнює нулеві.
Означення 1. Кажуть, що функція , є похідною порядку у сенсі С.Л. Соболєва від функції , якщо має місце рівність
(1)
Похідну в сенсі С.Л. Соболєва ще будемо називати узагальненою похідною і позначати символом .
Приклад 2. Нехай . Тоді має місце співвідношення
Тут ми скористалися умовою
За означенням отримуєм, що
Позначимо через множину всіх функцій з , узагальнені похідні порядку яких належать простору .
Неважко показати, що простір з нормою
(2)
- гільбертовий.
Простір називається ще соболівським.
Соболівський простір можна одержати також поповненням простору разів неперервно диференційовних функцій аж до кусково-гладкої границі за нормою (2).
Поповнення простору за нормою
(3)
називається соболівським простором .
Визначимо також простір як поповнення простору відносно норми (2).
Означення 2. Кажуть, що банахів простір цілком неперервно вкладається у банахів простір , якщо всі елементи простору належать також і простору , крім того, з будь-якої обмеженої послідовності простору можна виділити збіжну в сенсі норми простору підпослідовність.
Приклад 3. Покажемо, що простір цілком неперервно вкладається у простір неперервних на відрізку функцій.
Нехай . Тоді для маємо, що
Звідки, інтегруючи по від до , одержимо, що
Аналогічно,
Отже,
де
Використовуючи нерівність Гьольдера, одержимо, що
де - деяка константа.
Таким чином, якщо послідовність фундаментальна в метриці , то вона буде фундаментальною і в метриці , тобто поповнення простору за метрикою буде складатися з неперервних функцій, а, отже,
Нехай далі послідовність обмежена в . Згідно з доведеною нерівністю ця послідовність буде рівномірно обмеженою і в просторі .
З нерівності
де , випливає рівностепенева неперервність обмеженої множини функцій. В такому випадку з теореми Арцела випливає, що з послідовності можна виділити збіжну в підпослідовність. Таким чином, цілком неперервність вкладення показана.
Наведем далі один результат про цілком неперервність вкладення соболівських просторів.
Теорема 1. Нехай обмежена область має кусково-гладку границю і . Тоді простір цілком неперервно вкладається в простір .
Позначимо далі через циліндр висоти у просторі , тобто множина вигляду . Через , де - ціле додатне число, будемо позначати множину функцій з простору , у яких існують і належать простору узагальнені похідні при .
Через будемо позначати множину всіх функцій з простору , у яких існують і належать простору узагальнені похідні при усіх цілих і невід'ємних таких, що . Тут - ціле невід'ємне число.
Простори і - гільбертові з нормами
(4)
(5)
Нехай - обмежена область у просторі з кусково-гладкою границею , а функція .
Розглянемо крайову задачу
(6)
де
належать простору сумовних, майже скрізь обмежених в області функцій, причому існує таке, що
і майже скрізь в .
Означення 3. Узагальненим розв'язком крайової задачі (6) будемо називати таку функцію з простору , яка задовольняє інтегральну тотожність
(7)
де
Функцію , яка задовольняє співвідношення (7), називають також узагальненим розв'язком першої крайової задачі або задачі Діріхле.
Має місце така теорема.
Теорема 2. Для будь-якої функції існує єдиний узагальнений розв'язок задачі (1.6) і при цьому де додатна константа не залежить від функції , а символами позначені норми в просторах і відповідно.
Намітимо доведення цієї теореми у тому випадку, коли .
Доведення. Білінійна форма в силу зроблених припущень буде симетричною і неперервною на просторі . За допомогою цієї форми можна ввести новий скалярний добуток у просторі за формулою , який буде еквівалентним вихідному скалярному добуткові .
Зауважимо далі, що
Loading...

 
 

Цікаве