WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Розв’язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами матричним методом - Реферат

Розв’язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами матричним методом - Реферат


Реферат на тему:
Розв'язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами матричним методом
Досить універсальним методом розв'язку лінійних однорідних систем з сталими коефіцієнтами є матричний метод. Він полягає в наступному. Розглядається лінійна система з сталими коефіцієнтами, що записана у векторно-матричному вигляді
.
Робиться невироджене перетворення , де вектор - нова невідома векторна функція. Тоді рівняння прийме вигляд
або .
Для довільної матриці завжди існує неособлива матриця , що приводить її до жорданової форми, тобто , де - жорданова форма матриці . І система диференціальних рівнянь прийме вигляд
.
Складемо характеристичне рівняння матриці
, або .
Алгебраїчне рівняння -го ступеня має коренів. Розглянемо різні випадки.
1. Нехай - дійсні різні числа. Тоді матриця має вигляд
.
І перетворена система диференціальних рівнянь розпадається на - незалежних рівнянь
.
Розв'язуючи кожне окремо, отримаємо
.
Або в матричному вигляді
де .
Звідси розв'язок вихідного рівняння має вигляд . Для знаходження матриці треба розв'язати матричне рівняння
або ,
де - жорданова форма матриці . Якщо матрицю записати у вигляді
,
то для кожного з стовпчиків , матричне рівняння перетвориться до
, .
Таким чином, у випадку різних дійсних власних чисел матриця являє собою набір - власних векторів, що відповідають різним власним числам.
2. Нехай - комплексний корінь. Тоді відповідна клітка Жордана має вигляд
,
а перетворена система диференціальних рівнянь
Неважко перевірити, що розв'язок отриманої системи диференціальних рівнянь має вигляд
Або в матричному вигляді
Таким чином, комплексно-спряженим власним числам відповідає розв'язок де
3. Нехай - кратний корінь, кратності , тобто і йому відповідають лінійно незалежних векторів. Тоді клітка Жордана, що відповідає цьому власному числу, має вид
І перетворена підсистема, що відповідає власному числу , розпадається не дві підсистеми
.
.
Розв'язок першої знаходиться з використанням зазначеного в першому пункті підходу. Розглянемо другу підсистему. Запишемо її в координатному вигляді
Розв'язок останнього рівняння цієї підсистеми має вигляд
.
Підставимо його в передостаннє рівняння. Одержуємо
.
Загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння має вигляд суми загального розв'язку однорідного і частинного розв'язку неоднорідних рівнянь, тобто
.
Загальний розв'язок однорідного має вигляд .
Частинний розв'язок неоднорідного шукаємо методом невизначених коефіцієнтів у вигляді
,
де - невідома стала. Підставивши в неоднорідне рівняння, одержимо
.
Звідси і загальний розв'язок неоднорідного рівняння має вигляд
.
Піднявшись ще на один крок нагору одержимо
.
Продовжуючи процес далі, маємо
.
Або у векторно - матричному вигляді
.
Додавши першу підсистему, одержимо
,
Для останніх двох випадків матриця знаходиться як розв'язок матричного рівняння
.
Loading...

 
 

Цікаве