WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Метод невизначених коефіцієнтів - Реферат

Метод невизначених коефіцієнтів - Реферат


Реферат на тему:
Метод невизначених коефіцієнтів
Якщо лінійне диференціальне рівняння є рівнянням з сталими коефіцієнтами, а функція спеціального виду, то частинний розв'язок можна знайти за допомогою методу невизначених коефіцієнтів.
1) Нехай має вид многочлена, тобто
.
а) Розглянемо випадок, коли характеристичне рівняння не має нульового кореня, тобто . Частинний розв'язок неоднорідного рівняння шукаємо вигляді:
,
де - невідомі сталі. Тоді
Підставляючи у вихідне диференціальне рівняння, одержимо
Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях запишемо:
Оскільки характеристичне рівняння не має нульового кореня, то . Звідси одержимо
.
б) Розглянемо випадок, коли характеристичне рівняння має нульовий корінь кратності . Тоді диференціальне рівняння має вигляд
Зробивши заміну одержимо диференціальне рівняння
,
характеристичне рівняння якого вже не має нульового кореня, тобто повернемося до попереднього випадку. Звідси частинний розв'язок шукається у вигляді
Проінтегрувавши його -разів, одержимо, що частиний розв'язок вихідного однорідного рівняння має вигляд
2) Нехай має вигляд .
а) Розглянемо випадок, коли - не є коренем характеристичного рівняння. Зробимо заміну
Підставивши отримані вирази у вихідне диференціальне рівняння, одержимо
де - сталі коефіцієнти, що виражаються через і . Скоротивши на , одержиморівняння
Причому, оскільки - не є коренем характеристичного рівняння, то після заміни , отримане диференціальне рівняння не буде мати коренем характеристичного рівняння . Таким чином, повернулися до випадку I а). Частинний розв'язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді
А частинний розв'язок вихідного неоднорідного диференціального рівняння у вигляді:
б) Розглянемо випадок, коли - корінь характеристичного рівняння кратності . Це значить, що після, заміни і скорочення на , вийде диференціальне рівняння, що має коренем характеристичного рівняння, число кратності , тобто
Як випливає з пункту I б) частинний розв'язок шукається у вигляді
а частинний розв'язок вихідного неоднорідного диференціального рівняння у вигляді
3) Нехай має вигляд:
де - многочлени степеня і , відповідно, і, наприклад , . Використовуючи формулу Ейлера, перетворимо вираз до вигляду:
де - многочлени степеня не вище, ніж . Використовуючи властивості 2 , 3 розв'язків неоднорідних диференціальних рівнянь, а також випадки 2 а) , б) знаходження частинного розв'язку лінійних неоднорідних рівнянь, одержимо, що частинний розв'язок шукається у виглядах:
якщо - не є коренем характеристичного рівняння
якщо - є коренем характеристичного рівняння кратності .
Loading...

 
 

Цікаве