WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння - Реферат

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння - Реферат


Реферат на тему:
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння
Загальний вигляд лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь наступний
.
1. Властивості розв'язків лінійних неоднорідних рівнянь. Загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння
Властивість 1. Якщо - розв'язок лінійного однорідного рівняння, - розв'язок неоднорідного рівняння, то буде розв'язком лінійного неоднорідного диференціального рівняння.
Дійсно, нехай і - розв'язки відповідно однорідного і неоднорідного рівнянь, тобто
Тоді
тобто - розв'язок неоднорідного диференціального рівняння.
Властивість 2 (принцип суперпозиції). Якщо - розв'язки лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь
, ,
то з довільними сталими буде розв'язком лінійного неоднорідного рівняння
Дійсно, нехай - розв'язки відповідних неоднорідних рівнянь, тобто
Склавши лінійну комбінацію з рівнянь і їхніх правих частин з коефіцієнтами одержимо
або, перегрупувавши, запишемо
що і було потрібно довести.
Властивість 3. Якщо комплексна функція з дійсними елементами є розв'язком лінійного неоднорідного рівняння з комплексною правою частиною , то дійсна частина є розв'язком рівняння з правою частиною , а уявна є розв'язком рівняння з правою частиною .
Дійсно, як випливає з умови,
Розкривши дужки, одержимо
А комплексні вирази дорівнюють між собою тоді і тількитоді, коли дорівнюють окремо дійсні та уявні частини, тобто
що і було потрібно довести.
Теорема. Загальний розв'язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння складається з загального розв'язку лінійного однорідного рівняння і частинного розв'язку неоднорідного рівняння.
Доведення. Нехай - загальний розв'язок однорідного рівняння, а частинний розв'язок неоднорідного рівняння.
Тоді, як випливає з властивості I розв'язків неоднорідних рівнянь, , буде розв'язком неоднорідного рівняння. Покажемо, що цей розв'язок загальний, тобто вибором коефіцієнтів можна розв'язати довільну задачу Коші
Дійсно, оскільки загальний розв'язок однорідного рівняння, то лінійно незалежні, а отже визначник Вронського . Звідси, неоднорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь
має єдиний розв'язок для довільних наперед обраних значень . Нехай розв'язком системи буде . Тоді, як випливає з вигляду системи, функція є розв'язком поставленому задачі Коші.
Як випливає з теореми для знаходження загального розв'язку лінійного неоднорідного рівняння треба шукати загальний розв'язок однорідного рівняння, тобто будь-які - лінійно незалежні розв'язкі і якийсь частинний розв'язок неоднорідного рівняння. Розглянемо три методи побудови частинного розв'язку лінійного неоднорідного рівняння.
Loading...

 
 

Цікаве