WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Метод варіації довільної сталої побудови частинного розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння - Реферат

Метод варіації довільної сталої побудови частинного розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння - Реферат


Реферат на тему:
Метод варіації довільної сталої побудови частинного розв'язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння
Метод варіації довільної сталої полягає в тому, що розв'язок неоднорідного рівняння шукається в такому ж вигляді, як і розв'язок однорідного, але сталі вважаються невідомими функціями. Нехай загальний розв'язок лінійного однорідного рівняння
записано у вигляді .
Розв'язок лінійного неоднорідного рівняння
шукаємо у вигляді , де - невідомі функції. Оскільки підбором - функцій необхідно задовольнити одному рівнянню, тобто одній умові, то умову можна накласти довільно. Розглянемо першу похідну від записаного розв'язку
і зажадаємо, щоб . Розглянемо другу похідну
і зажадаємо, щоб . Продовжимо процес взяття похідних до -ї
і зажадаємо, щоб . На цьому - умова вичерпалася. І для -ї похідної справедливо
.
Підставимо взяту функцію та її похідні в неоднорідне диференціальне рівняння
Оскільки - розв'язок однорідного диференціального рівняння, то після скорочення одержимо -у умову
Додаючи перші - умови, одержимо систему
Оскільки визначником системи є визначник Вронського і він відмінний від нуля, то система має єдиний розв'язок
І загальний розв'язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння запишеться у вигляді
,
де - довільні сталі, а
.
Якщо розглядати диференціальне рівняння другого порядку
і загальний розв'язок однорідного рівняння має вигляд , то частинний розв'язок неоднорідного має вигляд . І для знаходження функцій маємо систему
Звідси
, .
І одержуємо з обчисленими функціями і .

 
 

Цікаве

Загрузка...