WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Системи диференціальних рівнянь - Реферат

Системи диференціальних рівнянь - Реферат


Реферат на тему:
Системи диференціальних рівнянь
Загальна теорія
Співвідношення вигляду
називається системою -звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.
Якщо система розв'язана відносно похідних і має вигляд
то вона називається системою в нормальній формі.
Визначення. 1. Розв'язком системи диференціальних рівнянь називається набір неперервно диференційованих функцій тотожно задовольняючих кожному з рівнянь системи.
У загальному випадку розв'язок системи залежить від - довільних сталих і має вигляд і задача Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку ставиться в такий спосіб. Потрібно знайти розв'язок, що задовольняє початковим умовам (умовам Коші): .
Визначення 2. Розв'язок називається загальним, якщо за рахунок вибору сталих можна розв'язати довільну задачу Коші.
Для систем звичайних диференціальних рівнянь досить важливим є поняття інтеграла системи. В залежності від гладкості (тобто диференційованості) можна розглядати два визначення інтеграла.
Визначення 3. 1. Функція стала уздовж розв'язків системи, називається інтегралом системи.
2. Функція повна похідна, якої в силу системи тотожно дорівнює нулю, називається інтегралом системи.
Для лінійних рівнянь існує поняття лінійної залежності і незалежності розв'язків. Для нелінійних рівнянь(систем рівнянь) аналогічним поняттям є функціональна незалежність.
Визначення 4. Інтеграли , , , … , називаються функціонально незалежними, якщо не існує функції - змінних такої, що
Теорема. Для того щоб інтеграли
, ,… системи звичайних диференціальних рівнянь були функціонально незалежними, необхідно і достатньо, щоб визначник Якобі був відмінний від тотожного нуля, тобто
Визначення 5. Якщо інтеграл системи диференціальних рівнянь, то рівність називається першим інтегралом.
Визначення 6. Сукупність - функціонально незалежних інтегралів називається загальним інтегралом системи диференціальних рівнянь.
Власне кажучи загальний інтеграл - це загальний розв'язок системи диференціальних рівнянь у неявному вигляді.
Теорема. (існування та єдиності розв'язку задачі Коші). Щоб система диференціальних рівнянь, розв'язаних відносно похідної, мала єдиний розв'язок, що задовольняє умовам Коші: досить, щоб:
1) функції були неперервними по змінним в околі точки ;
2) функції задовольняли умові Ліпшиця по аргументах у тому ж околі.
Зауваження. Умова Ліпшиця можна замінити більш грубою, але умовою, що перевіряється легше, існування обмежених частинних похідних, тобто
Loading...

 
 

Цікаве