WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Рівняння в повних диференціалах - Реферат

Рівняння в повних диференціалах - Реферат


Реферат на тему:
Рівняння в повних диференціалах
1. Загальна теорія
Якщо ліва частина диференціального рівняння
є повним диференціалом деякої функції , тобто
,
і, таким чином, рівняння приймає вигляд то рівняння називається рівнянням в повних диференціалах. Звідси вираз
є загальним інтегралом диференціального рівняння.
Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних диференціалах, тобто необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності
Нехай маємо рівняння в повних диференціалах. Тоді
Звідси де - невідома функція. Для її визначення продиференціюємо співвідношення по і прирівняємо
Звідси
.
Остаточно, загальний інтеграл має вигляд
Як відомо з математичного аналізу, якщо відомий повний диференціал
,
то можна визначити, взявши криволінійний інтеграл по довільному контуру, що з'єднує фіксовану точку і точку із змінними координатами . Більш зручно брати криву, що складається із двох відрізків прямих. В цьому випадку криволінійний інтеграл розпадається на два простих інтеграла
В цьому випадку одразу одержуємо розв'язок задачі Коші.
.
2. Множник, що Інтегрує
В деяких випадках рівняння
не є рівнянням в повних диференціалах, але існує функція така, що рівняння
вже буде рівнянням в повних диференціалах. Необхідною та достатньою умовою цього є рівність
,
або
.
Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відноснофункції . Задача інтегрування його значно спрощується, якщо відомо в якому вигляді шукати функцію , наприклад де - відома функція. В цьому випадку одержуємо
Після підстановки в рівняння маємо
,
або
.
Розділимо змінні
Проінтегрувавши і поклавши сталу інтегрування одиницею, одержимо:
.
Розглянемо частинні випадки.
1) Нехай . Тоді
І формула має вигляд
.
2) Нехай . Тоді
І формула має вигляд
3) Нехай .Тоді
І формула має вигляд
.
4) Нехай . Тоді
І формула має вигляд
.
3. Вправи для самостійної роботи
Як вже було сказано, рівняння буде рівнянням в повних диференціалах, якщо його ліва частина є повним диференціалом деякої функції. Це має місце при .
Приклад 1.4.1. Розв'язати рівняння
.
Розв'язок. Перевіримо, що це рівняння є рівнянням в повних диференціалах. Обчислимо
.
Таким чином існує функція , що . Проінтегруємо по . Отримаємо
.
Для знаходження функції візьмемо похідну від по і прирівняємо до . Отримаємо
.
Звідси і . Таким чином, і загальний інтеграл диференціального рівняння має вигляд .
Перевірити, що дані рівняння є рівняннями в повних диференціалах, і розв'язати їх:
1.4.2 ;
1.4.3 ;
1.4.4 ;
1.4.5 ;
1.4.6 ;
1.4.7 ;
1.4.8 ;
1.4.9 ;
1.4.10 ;
1.4.11 ;
1.4.12 ;
1.4.13 ;
Розв'язати, використовуючи інтегруючий множник
1.4.14 ;
1.4.15 ;
1.4.16 ;
1.4.17 ;
1.4.18 .
Loading...

 
 

Цікаве