WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Лінійні рівняння першого порядку - Реферат

Лінійні рівняння першого порядку - Реферат


Реферат на тему:
Лінійні рівняння першого порядку
1. Загальна теорія
Рівняння, що є лінійним відносно невідомої функції та її похідної, називається лінійним диференціальним рівнянням. Його загальний вигляд такий:
.
Якщо , тобто рівняння має вигляд
,
то воно зветься однорідним. Однорідне рівняння є рівнянням зі змінними, що розділяються і розв'язується таким чином:
Нарешті .
Розв'язок неоднорідного рівняння будемо шукати методом варіації довільних сталих (методом невизначених множників Лагранжа). Він складається в тому, що розв'язок неоднорідного рівняння шукається в такому ж вигляді, як і розв'язок однорідного, але вважається невідомою функцією від , тобто і . Для знаходження підставимо у рівняння
.
Звідси
Проінтегрувавши, одержимо
.
І загальний розв'язок неоднорідного рівняння має вигляд
Якщо використовувати початкові умови ,то розв'язок можна записати у формі Коші:
.
2. Рівняння Бернуллі
Рівняння вигляду
називається рівнянням Бернуллі. Розділимо на і одержимо
Зробимо заміну: .
Підставивши в рівняння, отримаємо
Одержали лінійне диференціальне рівняння. Його розв'язок має вигляд
3. Рівняння Рікатті
Рівняння вигляду
називається рівнянням Рікатті. В загальному випадку рівняння Рікатті не інтегрується. Відомі лише деякі частинні випадки рівнянь Рікатті, що інтегруються в квадратурах. Розглянемо один з них. Нехай відомий один частинний розв'язок . Робимо заміну і одержуємо
Оскільки - частинний розв'язок, то
.
Розкривши скобки і використовуючи вказану тотожність, одержуємо
Перепишемо одержане рівняння у вигляді
,
це рівняння Бернуллі з .
Loading...

 
 

Цікаве