WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Однорідні рівняння - Реферат

Однорідні рівняння - Реферат


Реферат на тему:
Однорідні рівняння
1. Загальна теорія
Нехай рівняння має вигляд
.
Якщо функції та однорідні одного ступеня, то рівняння називається однорідним. Нехай функції та однорідні ступеня , тобто
Робимо заміну . Після підстановки одержуємо
,
або
.
Скоротивши на і розкривши скобки, запишемо
.
Згрупувавши, одержимо рівняння зі змінними, що розділяються
,
або
.
Взявши інтеграли та замінивши , отримаємо загальний інтеграл .
2. Рівняння, що зводяться до однорідних
Нехай маємо рівняння вигляду
.
Розглянемо два випадки
1) .
Тоді система алгебраїчних рівнянь
має єдиний розв'язок . Проведемо заміну та отримаємо
Оскільки - розв'язок системи алгебраїчних рівнянь, то диференціальне рівняння прийме вигляд
і є однорідним нульового ступеня. Робимо заміну .
Підставимо в рівняння
.
Одержимо
.
Розділивши змінні, маємо
.
І загальний інтеграл диференціального рівняння має вигляд .
Повернувшись до вихідних змінних, запишемо
.
2) Нехай , тобто коефіцієнти строк лінійно залежні і
.
Робимо заміну . Звідси .
Підставивши в диференціальне рівняння, одержимо
,
або
.
Розділивши змінні, отримаємо
.
Загальний інтеграл має вигляд
Loading...

 
 

Цікаве