WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку - Реферат

Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку - Реферат

рівнянь
(17)
Так як визначник системи (17) , то вона має ненульовий розв'язок
. Розглянемо функцію y = , (18)
яка являється розв'язком диференціального рівняння (5).
Система (17) показує , що в точці розв'язок (18) перетворюється в нуль разом із своїми похідними до (n-1) -го порядку . В силу теореми існування і єдиності це значить , що має місце тотожність y (x) = , a < x < b, де не всі дорівнюють нулю . Останнє означає , що розв'язки (x), (x), ... , - лінійно залежні на (a,b). Це протиріччя і доводить теорему.
З теорем 1 і 2 випливає : для того , щоб n розв'язків диференціального рівняння (5) були лінійно незалежними на (a,b) необхідно і достатньо , щоб їх вронскіан не дорівнював нулю в жодній точці цього інтервалу.
Виявляється , для вияснення лінійної незалежності n розв'язків диференціального рівняння (5)достатньо переконатися , що W (x) не дорівнює нулю хоча б в одній точці інтервалу (a,b) . Це випливає з наступних властивостей вронскіана від n розв'язків диференціального рівняння (5):
а) Якщо вронскіан дорівнює нулю в одній точці (a,b) і всі коєфіцієнти диференціального рівняння (5) являються неперервними , то на (a,b).
Дійсно, якщо , то по теоремі 2. функції (x), (x), ... , - лінійно залежні на (a,b). Тоді , по теоремі 1. на (a,b);
б) якщо вронскіан n розв'язків диференціального рівняння (5) відмінний від нуля в одній точці (a,b) , то на (a,b) .
Дійсно , якби W (x) дорівнював в одній точці з (a,b) нулю , то згідно а) на (a,b) , в тому числі і в точці (a,b) , що протирічить умові.
Звідси випливає , якщо n розв'язків диференціального рівняння (5) лінійно незалежні на (a,b) , то вони будуть лінійно незалежні на будь-якому (a,b) .
4. Формула Остроградського - Ліувілля.
Ця формула має вигляд (19)
Доведення . Розглянемо вронскіан W (x) = і обчислимо його похідну
+ + .
Перших (n-1)-визначників рівні нулю , так як всі вони мають по дві однакових стрічки . Далі домножимо (n-1) стрічки останнього визначника відповідно на і складемо всі n стрічок . В силу диференціального рівняння (5) маємо = ,
Звідки маємо формулу (5.19) .
5. Фундаментальна система розв'язків та ії існування.
Означення 5. Сукупність n розв'язків диференціального рівняння (5) визначених і лінійно незалежних на (a,b) називається фундаментальною системою розв'язків .
З попереднього випливає , для того , щоб система n розв'язків диференціального рівняння (5) була фундаментальною системою розв'язків необхідно і достатньо , щоб вронскіан цих розв'язків був відмінний від нуля хоч в одній точці інтервалу неперервності коефіцієнтів диференціального рівняння (5) . Всі ці розв'язки повинні бути бути ненульовими .
Теорема 3. (про існування ФСР) Якщо коефіцієнти диференціального рівняння (5) являються неперервними на (a,b) , то існує фундаментальна система розв'язків на цьому інтервалі.
Доведення . Візьмемо точку (a,b) і побудуємо, використовуючи метод Пікара , розв'язки :
з початковими умовами ;
------------- // --------------- ;
... ------------- // --------------- ... ... ... ....
------------- // --------------- .
Очевидно , що , отже побудовані розв'язки лінійно незалежні .
Теорема доведена .
З методу побудови лінійно незалежних функцій випливає, що таких функцій можна побудувати безліч.
Побудована система розв'язків називається нормованою в точці .
Для будь-якого диференціального рівняння (5) існує тільки одна фундаментальна система розв'язків , нормована по моменту .
6. Загальний розв'язок. Число лінійно незалежних розв'язків.
Теорема 4. Якщо (x), (x), ... , - фундаментальна система розв'язків диференціального рівняння (5) , то формула
y = , (20) де , , ... , - довільні константи, дає загальний розв'язок диференціального рівняння (5) в області a < x < b,
, , ... , (21) , тобто в області визначення
диференціального рівняння (5).
Доведення. Якщо (x), (x), ... , - розв'язки диференціального рівняння (5) , то лінійна комбінація (20) теж розв'язок .
Систему (22) можна розв'язати відносно , , ... ,
в області (21) , так як . Згідно визначення (20) - загальний розв'язок і він містить в собі всі розв'язки диференціального рівняння (5) .
Теорема доведена .
Для знаходження частинного розв'язку такого , що (23)
необхідно все підставити в (22) і визначити , i=1,2,…,n .
Тоді - частинний розв'язок , якщо фундаментальна система розв'язків - нормована в точці , то , тобто
(24) загальний розв'язок в формі Коші .
Зауважимо , що загальний розв'язок диференціального рівняння (5) є однорідна лінійна функція від довільних констант .
Твердження 1. Диференціальне рівняння (5) не може мати більше ніж n лінійно незалежних частинних розв'язків.
Дійсно , нехай ми маємо (n+1) частинний розв'язок . Розглянемо n перших . Якщо вони лінійно залежні , то і всі будуть лінійно залежні , так як
, a < x < b, де всі не дорівнють нулю . Якщо ж вони лінійно залежні, то по теоремі 4. будь-який розв'язок , в тому числі і виражається через , , ... , , тобто = . Так , що (n+1)-ий розв'язок знову виявився лінійно залежним .
Для побудови диференціального рівняння типу (5) по системі лінійно незалежних функцій (x), (x), ... , , які n раз неперервно диференційовані на (a,b) , вронскіан яких , (a,b) необхідно розглянути вронскіан порядку (n+1)
= 0
і розкрити цей визначник по останньому стовпцю .
Якщо відомо один частинний ненульовий розв'язок диференціального рівняння (5) , то можна понизати порядок його на одиницю заміною
, або (25)
Тоді
і диференціального рівняння (5) запишемо у вигляді
Ми отримали диференціальне рівняння порядку (n-1) .
Якщо маємо к лінійно незалежнихчастинних розв'язків , то диференціальне рівняння (5) можна понизити на к одиниць .
Loading...

 
 

Цікаве