WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку - Реферат

Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку - Реферат


Реферат на тему:
Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних
рівнянь n-го порядку.
1. Властивості лінійного диференціального оператору.
Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду
(1)
де Pi(x), i = 1,2,…, n , f(x) - задані функції, неперервні на (a,b).
При цих умовах диференціальне рівняння (5.1) має єдиний розв'язок
y=y(x), який задовільняє початковим умовам .
Цей розв'язок визначений і n раз неперервно диференційований на (a,b).
Особливих розв'язків диференціальне рівняння (1) не має. Будь-який розв'язок являється частинним. Якщо при стоїть , то точки, в яких =0, називаються особливими.
Якщо f(x)=0, то диференціальне рівняння (1) називають однорідним
(2)
Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор
(3)
Властивості оператора L :
a) L (xy)=k *L (y), k = const;
b) L ( )=L ( ) + L ( );
c) L .
Використовуючи оператор L диференціального рівняння (1) і (2) перепишемо у вигляді L (y) = f (x) , L (y) = 0 .
Означення 1. Функція y = y (x) називається розв'язком диференціального рівняння (1), якщо L (y) f (x) (для диференціального рівняння (2)
L (y(x)) 0).
Лінійне диференціальне рівняння (1) залишається бути лінійним при будь-якій заміні незалежної змінної .
Лінійне диференціальне рівняння (1) залишається бути лінійним при будь-якій лінійній заміні шуканої функції . (4)
2. Властивості розв'язків лінійного однорідного диференціального рівняння n-го порядку.
Наша задача полягає в тому, щоб знайти всі дійсні розв'язки диференціального рівняння (5)
Для розв'язування такої задачі доцільно знайти деякі комплексні розв'язки.
Означення 2 Функцію z(x) = w(x) + iv(x), де w(x),v(x) дійсні функції, будемо називати комплексною функцією від дійсної змінної х (w(x) - дійсна частина, v(x) - уявна частина).
Приклад 1. Показати справедливість формул , . (6)
Формули (6) доводяться виходячи з розкладу відповідних множників b раз.
Похідна n-го порядку від z (x) дорівнює . (7)
Приведемо формули для обчислення похідної :
а) ; (8)
Дійсно
б) Для дійсного к і будь-якого справедлива формула
; (9)
в) Використовуючи (9) можна показати , (10)
де - поліноми степеня n ;
г) При будь-якому (дійсному або комплексному) справедлива формула
. (11)
Формула (11) доводиться шляхом представлення і використання формули (8).
Означення 3. Комплексна функція y (x) = (x) + i (x) (12) називається розв'язком однорідного диференціального рівняння (5); якщо
L (y(x)) 0, a < x < b .
Комплексний розв'язок (12) утворює два дійсних розв'язки (x), (x).
Дійсно L (y(x)) = L ( (x) + i (x)) = L( (x)) + iL( (x)) = 0 .
Звідки L( (x)) = 0, L( (x)) = 0.
Властивості розв'язків лінійного однорідного диференціального рівняння (5).
а) Якщо (x) - розв'язок , тобто L( ) 0, то y=c (x), де с - довільна константа , теж розв'язок диференціального рівняння (5)
L(с ) = сL( ) = 0.
б) Якщо (x), (x) - розв'язки диференціального рівняння (5) , то
у= (x)+ (x) теж розв'язок . Дійсно L ( + ) = L ( )+L ( ) = 0.
в) Якщо (x), (x), ... , ) - розв'язки диференціального рівняння (5), то їх лінійна комбінація також являється розв'язком
L = 0.
Приклад 2. Записати двохпараметричне сімейство розв'язків.
, =cos(x), =sin(x) - розв'язки, тоді y = c cos(x)+c sin(x) - розв'язок .
3. Необхідні і достатні умови лінійної незалежності n-розв'язків лінійного однорідного диференціального рівняння n - го порядку.
Означення 4. Функції (x), (x), ... , називаються лінійно незалежними на (a,b) , якщо між не існує співвідношення виду
(x) + (x) + ... + 0 , a < x < b , (13)
де , ... , - постійні числа не рівні нулю одночасно . В противному випадку функції (x), (x), ... , називають лінійно залежними на (a,b).
Для двох функцій поняття лінійної незалежності на (a,b) зводиться до того, щоб відношення функцій , не було постійним на (a,b).
Зауваження 1. Якщо одна із функцій на (a,b) тотожньо дорівнює нулю, то ці функції лінійно залежні.
Приклад 3. Функції =1, =x, ... , - лінійно незалежні на будь-якому інтервалі (a,b) . Дійсно співвідношення
+ x + ... + x =0 , в якому не всі дорівнюють нулю, не може виконуватися для будь-яких x , так як рівняння (n-1) - го степеня має не більше (n-1) - го коренів.
Приклад 4. Функції , - лінійно незалежні, так як співвідношення , де не рівні одночасно нулю, виконуються не більше ніж в одній точці. Це випливає з = .
Приклад 5. Функції =sin x , =cos x , =1 - лінійно залежні на , так як для будь-якого х справджується співвідношення
sin x + cos x - 1 = 0 .
Розглянемо необхідні умови лінійної залежності n - функцій .
Теорема.1. Якщо функції (x), (x), ... , - лінійно залежні на (a,b) , то їх вронскіан W (x) тотожньо дорівнює нулю на (a,b) . Тут
W (x) = (14)
Доведення. Згідно умови теореми
(x) + (x) + ... + 0 , a < x < b , де не всі одночасно рівні нулю . Нехай , тоді
(15)
Диференціюємо (15) (n-1)-раз і підставляємо в (14)
W (x) = (16)
Розкладаючи визначник (16) на суму визначників, будемо мати в кожному з них два однакові стовпці, тому всі визначники будуть рівні нулю і отже
W (x) 0 , a < x < b. Теорема доведена.
Нехай кожна з функцій (x), (x), ... , - розв'язок диференціального рівняння (5) . Тоді необхідні і достатні умови лінійної незалежності цих
розв'язків даються теоремою 1. і слідуючою теоремою .
Теорема 2. Якщо функції (x), (x), ... , - суть лінійно незалежні розв'язки диференціального рівняння (5), всі коефіцієнти якого неперервні на (a,b) , то вронскіан цих розв'язків W не дорівнює нулю в жодній точці інтервалу (a,b) .
Доведення. Припустимо протилежне , що в точці (a,b) . Складемо систему
Loading...

 
 

Цікаве