WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Диференціальні рівняння першого порядку, не розв’язанні відносно похідної - Реферат

Диференціальні рівняння першого порядку, не розв’язанні відносно похідної - Реферат


Реферат на тему:
Диференціальні рівняння першого порядку, не розв'язанні відносно похідної
1. Основні поняття і означення, теорема про достатні умови існування і єдності розв'язку.
Диференціальне рівняння першого порядку, не розв'язані відносно похідної має вигляд
(1)
Найбільш часто зусрічаються диференціальні рівняння першого порядку -ої степені.
Означення 1. Функція , визначена і
(2)
неперервнодиференційовна на називається розв'язком Д.Р. (1), якщо вона після підстановки перетворює Д.Р. (1) в
тотожність
Означення 2. Будемо говорити, що рівняння визначає розв'язок Д.Р.(5.1) в нормальній формі, якщо воно визначає як функцію і вона являється розв'язком Д.Р.(5.1).
Означення 3. Рівняння , , , визначає розв'язок Д.Р.(1) в параметричній формі, якщо
Криві на ел. , які відповідають розв'язкам, будемо називати
Задача Коші - задача знаходження розв'язків, які задовільняють умови .
Означення 4. Говорять, що задача Коші для Д.Р.(1) з початковими умовами має єдиний розв'язок, якшо через в достатньо малому околі її проходить стільки , скільки напрямків поля визначає Д.Р. в цій точці. В противному - не єдиний розв'язок.
Теорема 1. (про існування і єдиність розв'язку задачі Коші).
Якщо функція задовільняє наступним умовам:
а) Являється визначеною і неперервною разом зі своїми ЧП в деякому замкненому околі т. ;
б) ;
в) ;
то Д.Р.(1) має єдиний розв'язок , визначений і неперервно диференційовний в околі т , задовільняючий умови і такий, що
? Без доведення ?
Припустимо, що розв'язуючи Д.Р.(1) відносно , ми знайдемо дійсні розв'язки
(3)
де визначені в обл. так, що маємо Д.Р. першого порядку, розв'язаних відносно . Припустимо, що в точці , напрямок поля, визначений кожним Д.Р. (3), різний. Так що різних рівнянь не можуть дотикатися друг друга на .
Нехай кожне Д.Р. (3) на має загальний інтеграл
(4)
Означення 5. Сукупність інтегралів (4) будемо називати загальним інтегралом Д.Р. (5.1) в обл. .
Інколи замвсть співвідношення (4) записують
(5)
Якщо поле на не задовільняє сказаному вище, тобто існує хоча б одна точка , в якій значення хоча б двох функцій співпали, то відповідаючі Д.Р. дотикаються друг друга в точці . Тому крім Д.Р. (3), будуть ще склеєні . Всі вони будуть входити в (4) або (5).
В загальному випадку Д.Р. (1) не удається розв'язати відносно в елементарних функціях. В цих випадках шукають однопараметричне сімейство в вигляді
(6)
яке називається загальним інтегралом Д.Р. (1).
Якщо сімейство задано в вигляді
(7)
то воно називається загальним розв'язком Д.Р. (1)
Зауважимо, що в (6) можуть входити і розв'язки Д.Р. виду (3), коли -комплексні. Ми таких Д.Р. не будемо розглядати, тому відповідні їм розв'язки треба виключати.
Сімейство , заданих в параметричному вигляді
(8)
будемо називати загальними розв'язками Д.Р. в параметричній формі.
Означення 6. Розв'язок Д.Р. (1) будемо називати частинним розв'язком, якщо в кожній його точці задача Коші має єдиний розв'язок.
Означення 7. Розв'язок називається особливим розв'язком, якщо в кожній його точці порушується єдинність розв'язку задачі Коші.
Аналогічно Д.Р., розв'язаним відносно , Д.Р. (1) може мати розв'язки, які являються ні частинними, ні особливими.
Аналіз частинних і особливих розв'язків для цих рівнянь більш складний. Зауважимо, що в випадку (3) розв'язок буде особливим, якщо буде особливим хоча б для одного з Д.Р. (3).
Приклад 1.
(9)
З (9) маємо:
Тоді - загальний інтеграл.
або . Цей загальний інтеграл є накладенням сімейств двох (мал. 1).
мал. 1.
Розв'язок задачі Коші для Д.Р. (9) в кожній точці площіни являється єдиним. В точці ми маємо два напрямки поля: ; І через цю точку проходить два
, якщо (11)
і , якщо .
Розв'язки (10),(11) - частинні розв'язки. Особливих розв'язків немає.
2. Знаходження кривих, підозрілих на особливий розв'язок.
Припустимо, що Д.Р. (1) представлено в формі (3). При досліджені на особливий розв'язок рівнянь виду (3) ми прийшли до висновку, що ці розв'язки можливі на тих кривих, на яких являється необмеженою. Але в переході від Д.Р. (1) до рівнянь (3) є недоцільність при визначені особливих розв'язків, так як .
Дійсно, припустимо, що _____ похідні , тоді
, звідки (12).
Припустимо, що , тоді буде необмеженою при умові
(13)
Таким чином, криві, підозрілі на особливий розв'язок будуть визначатися з системи
(14)
Розв'язок системи (14)
=0 (15)
дискримінантна крива. Якщо вона задовільняє Д.Р. (1) і в кожній точці порушується єдність, то це буде особливий розв'язок.
Приклад 2.
(16)
, (17)
Співвідношення (17) - дискримінантна крива рівняння (16). А на ній ми маємо не два а один напрямок поля . В той же час - через неї може проходити не одна .
3. Загальний метод введення параметра.
Розглянемо Д.Р. (1). Припустимо, що воно допускає параметризацію
(18)
Так, що при всіх значеннях параметрів і .
Використовуючи (18) і співвідношення ми з Д.Р. (1) завжди зможемо привести до Д.Р., яке розв'язане Відносно похідної.
Тому
Візьмемо, наприклад, за незалежну змінну, - за залежну, тоді прийдемо до Д.Р.
(19)
Якщо
(20)
- загальний розв'язок Д.Р. (19), то загальний розв'язок Д.Р. (1) можна отримати в параметричній формі.
(21)
Розглянемо деякі частинні випадки:
А. Д.Р., розв'язані віднлсносно шуканої функції.
Це рівняння має вигляд
(22)
За параметри і можна взяти і . Позначимо , тоді
(23)
Маємо
Звідки
(24)
Нехай - загальний розв'язок Д.Р. (24), тоді - загальний розв'язок Д.Р. (22).
Д.Р. (24) може мати особливий розв'язок , тоді Д.Р. (22) може мати особливий розв'язок .
Б. Випадок, коли Д.Р. розв'язане відносно незалежної змінної.
Це рівняння має вигляд
(25)
Інтегрується воно аналогічно Д.Р. (22). Покладемо . Тоді
Використовуючи співвідношення , отримаємо
(26)
Якщо - загальний інтеграл Д.Р. (26), то
(27)
загальний інтеграл Д.Р. (25).
Якщо - особливий рощзв'язок Д.Р.(26), то -може бути особливим розв'язком Д.Р. (25).
Розглянемо тепер більш прості випадки, коли рівняння можна проінтегрувати.
В. Рівняння Лагранжа.
Це рівняння має вигляд
(28)
Воно інтегрується в квадратурах. Покладемо . Тоді
(29)
З (29) маємо
(30)
Д.Р. (30) лінійне по
(31)
Нехай - розв'язок Д.Р. (31). Тоді загальний розв'язок рівняння Лагранжа запишемо в параметричній формі
(32)
Особливі розв'язки можуть бути там, де
(33)
тобто
(34),
де - корені рівняння (33).Розв'язок(34) може бути частинним або особливим.
Г. Рівняння Клеро.
Це рівняння - частинний випадок рівняння Лагранжа, коли .
(35)
Покладемо , тоді
(36)
Використовуючи , отримаємо
(37)
Рівняння (37) розпадається на два
(38)
Перше рівняння дає , підставляючи яке в (35) будемо мати загальний розав'язок
(39)
Друге - , разом з (5.35) утворює параметричні розв'язкі
(40)
Розв'язок (40) являється особливим, так як він співпадає з _______. Дійсно
звідки
(41)
Дискримінантна крива (41) співпадає з розв'язком (40).
Приклад 3.
Розв'язати рівняння Лагранжа .
Покладемо . Маємо ,
,
Отримали лінійне рівняння
Його розв'язок
(42)
(43)
загальний розв'язок нашого рівняння в параметричній формі. Або, виключаючи :
(44)
Знайдемо ті розв'язки, яким відповідають
Перший розв'язок - офівфісобливий, другий - частинний.
Приклад 4.
Це рівняння Клеро. Його загальний розв'язок -
Запишемо дискримінантну криву
Звідки - особливий розв'язок, так як через цей розв'язок проходить ще розв'язок, який міститься в загальному при .
4. Неповні рівняння.
а). Д.Р. які містять тільки похідну.
Це рівняння вигляду
(45)
Рівняння (45) може мати скінчену або нескінчену кількість дійсних розв'язків.
(46)
де - деякі числа, задовільняючі функцію .
Інтегруємо (46)
(47)
Так як то
(48)
загальний інтеграл Д.Р. (45). Таким чином при таких припущеннях Д.Р. (45) є системою прямих ліній, які можна записати у вигляді (48). При цьому в (48) можуть входити комплексні розв'язки Д.Р.
Приклад 5.
Розв'язати .
Згідно (48) - загальний інтеграл. Однак у нього крім дійсного розв'язку , входять розв'язки комплексного Д.Р.
б) Д.Р., які не містять шуканої функції мають вигляд
(49)
Якщо (49) можна розв'язати відносно похідної
(50)
то
(51)
являється загальним інтегралом Д.Р. (49).
Якщо ж розв'язати відносно не можна, а допускається параметризація
(52)
тобто
(53)
Тоді загальний розв'язок знаходять в параметричній формі
(54)
Якщо Д.Р. (49) має вигляд
(55)
тоді це рівняння легко параметризується .В частинному випадку . Загальний розв'язок запишеться в формі
(56)
Приклад 6.
Зайти загальний розв'язок рівняння .
Вводимо параметризацію .
, ,
Маємо
Загальний розв'язок в параметричній формі.
в) Д.Р., які не містятьнезалежної змінної.
Це рівняння вигляду
(57)
Якщо рівняння (57) розв'язане відносно , тобто
(58)
то
(59)
Являється загальним інтегралом Д.Р. (57). Особливими розв'язками можуть бути криві , де - корені рівняння (або ).
Якщо Д.Р. (57) не можна розв'язати відносно , але воно допускає параметризацію
(60)
то
(61)
Загальний розв'язок Д.Р. (57) в параметричній формі.
Приклад 7.
Розв'язати . Введемо параметризацію .
звідки
зашальний розв'язок нашого рівняння.
г) Узагальнено однорідні рівняння.
Д.Р. назвемо узагальнено однорідним, якщо ліва частина являється однорідною функцією аргументів , яким відповідають величини -го, -го і виміру, тобто
(62)
Зробимо заміну
(63)
де - нова незалежна змінна, - нова шукана функція. Маємо
тобто . З іншої сторони
(64)
Підставимо (63),(64) в Д.Р. (1)
отримане рівняння
(65)
не містить незалежної змінної .
Loading...

 
 

Цікаве