WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані відносно похідної - Реферат

Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані відносно похідної - Реферат


Реферат на тему:
Диференціальні рівняння першого порядку, розв'язані відносно похідної
1. Рівняння Рікатті.
Рівняння Рікатті має вигляд , (1)
де P(x), Q(x), R(x) - визначені неперервні на (a,b) .
Причому R(x) 0 і P(x) 0 ,так як при цьому диференційне
рівняння (1) вироджується в рівняння Бернуллі і лінійне відповідно.
При таких критеріях відносно функцій P(x) , Q(x), R(x)
диференційне рівняння (1) має єдиний розв'язок при .
Тому діференційне рівняння особливих розв'язків не має.
Властивості диференційного рівняння (1) :
а) Диференційне рівняння (1) інваріантно відносно перетворення :
; (2)
б) Диференційне рівняння (1) інваріантно відносно дробно-
лінійного перетворення : (3)
де будь-які неперервно-диференційовані функції на
(a,b), , які задовольняють умові , z-нова незалежна
змінна.
Заміною диференційне рівняння (1) приводиться до
рівняння вигляду : (4)
При змінних диференційне рівняння (1) інтегрується
тільки в деяких випадках , а саме :
константи ; (5)
Це диференційне рівняння з розділеними змінними ;
, константи; (6)
Це однорідне диференційне рівняння ;
константи ; (7)
Це диференційне рівняння , яке зводиться до диференційного рівняння (5)
заміною
(8) інтегрується , так як узагальнено - однорідне
при . Заміна Тут -постійні , такі що
Побудова загального розв'язку диференційного рівняння (1)
в випадках , якщо відомі частинні лінійно-незалежні розв'язки.
А. Відомо один частинний розв'язок
Твердження 1. Якщо відомо один частинний розв'язок диференційного рівняння (1) , то воно зводиться до рівняння Бернуллі при n=2 .
Доведення. Зробимо заміну (9) . Підставимо в (1) .
Звідки
Далі підстановкою
диференційне рівняння зводимо до лінійного
Тому при відомому одному частинному розв'язку диференційне рівняння інтегрується через дві квадратури. На практиці одразу роблять підстановку Дослідимо структуру загального розв'язку диференційного рівняння . Так як то
Тобто загальний розв'язок-це дробно-раціональна функція змінної .
Б. Відомо два частинні розв'зки диференційного рівняння
Твердження 2 Якщо відомо два частинні розв'зки диференційного рівняння , то загальній розв'язок знаходиться одного квадратурно.
Дійсно, при заміні являється частинним розв'язком
лінійного рівняння . Тут загальний розв'язок диференційного рівняння знаходиться одного квадратурно
В. Відомо три частинні розв'зки диференційного рівняння
Загальний розв' язок диференційного рівняння Рікатті знаходиться без квадратур.Дійсно, якщо частинні розв'язки диференційного рівняння ,то
частинні розв'язки лінійного рівняння . А в цьому випадку його розв'язок знаходиться без квадратур
Підставляючи в знайдемо розв'язок диференційного рівняння
2. Рівняння в повних диференціалах
Означення 1 . Рівняння називається рівняння в повних диференціалах, якщо його ліва частина представляє собою повний диференціал деякої функції
тобто
Загальний інтеграл диференційного рівняння має вигляд Особливих розв'язків диференційне рівняння не має .
Приклад 1 - загальний
Інтеграл .
Припустимо,що функції - неперервно диференційовані.
Теорема 1. Для того,щоб диференційне рівняння було в повних диференціалах необхідно і достатньо,щоб виконувалася рівність
Доведення . Необхідність. Нехай диференційне рівняння являється рівнянням в повних диференціалах Звідси А це означає,що
виконуеться .
Достатність. Нехай умова виконується. Покажемо,що існує ,яка задовольняє диференційне рівняння або ж . Розглянемо перше рівняння з системи Рівняння задовольняє функція де - довільна функція, яку виберемо так, щоб виконувалося друге рівняння системи . Або . Використавши , отримаємо Отже
Теорема доведена.
Беремо ,тоді загальний інтеграл диференційного рівняння буде ,тобто
Якщо при побудові функції взяти за сталу друге рівняння системи , то отримаємо В формулах точки вибириють довільно, але так , щоб інтеграли мали зміст. Якщо точки вибрані вдало , то задача інтегрування спрощується.
Приклад 2. Розв'язати диференційне рівняння
Використовуємо формулу при
Знайдемо Отже, - загальний інтеграл.
Формули дають можливість розв'язувати задачу Коші з умовами ,якщо точка лежить в області визначення диференціального рівняння . Для цього достатньо взяти в с=0 .
Цей розв'язок буде єдиний .
Інтегрувальний множник. Теореми про існування, неєдиність і загальний вигляд інтегрувального множника.
Розглянемо диференціальне рівняння ,яке не являється рівнянням в повних диференціалах.
В багатьох випадках диференціальне рівняння можна домножити на функцію , після чого воно буде диференціальне рівняння в повних диференціалах . Функція називається інтегрувальним множником, а
- відповідним йому інтегралом диференціального рівняння , тобто . Звідки , отже
Маємо - це рівняння в часткових похідних першого порядка відносно .В загальному випадку знайти з рівняння важко.
Розглянемо випадки , коли можна визначити з :
А.
При маємо диференціальне рівняння
Щоб в такій формі існував інтегральний множник необхідно , щоб тоді тобто Для простоти візьмемо с=1 , будемо мати
Б. Маємо Звідки Якщо то
В. де - відома функція . Тоді рівняння приймає вигляд Якщо то При умові диференціальне рівняння можна проінтегрувати і знайти
знаючи інтегрувальний множник ми можемо знайти всі особливі розв'язки .
Так як , то , тобто диференціальне рівняння перепишемо так
Звідки дає інтеграл . А рівняння може дати особливі розв'язки . Для їх знаходження треба : а) знайти криві , на яких приймає нескінченні значення ; б) перевірити , чи являються ці криві розв'язками диференціального рівняння ; в) перевірити єдиність в кожній точці цих кривих ;
Якщо ж обмежена функція , то особливих розв'язків немає .
Теорема 2 (про існування інтегрального множника) Якщо диференціальне рівняння має загальний інтеграл , де - інтеграл диференціального рівняння в заданій області , який має часткові похідні другого порядку , то це рівняння має інтегрувальний множник .
Доведення. Так як інтеграл , то в силу , тобто де і зв'язані диференціальним рівнянням . Так , що і задовільняють системірівнянь
Підставивши в одне з рівнянь , тобто виключаючи його і в силу довільності будемо мати з тобто звідки тому
Теорема доведена .
Теорема 3 (про неєдиність інтегрувального множника).
Якщо інтегрувальний множник диференціального рівняння , а відповідний йому інтеграл , то де - неперервно диференційована функція не рівна тотожньо нулю , також являється інтегрувальним множником диференціального рівняння .
Доведення . Дійсно, домножимо диференціальне рівняння на , отримаємо
Тобто ліва частина являється повним диференціалом функції ,а це означає , що функція визначена співвідношенням , являється
інтегрувальним множником .
Теорема 3. (про загальний вигляд інтегрувального множника )
Два будь-яких інтегрувальних множника диференціального рівняння зв'язані співвідношенням
Доведення . Нехай - інтегрувальні множники . яким відповідають інтеграли , тобто
Поділимо перше рівняння на друге , отримаємо Але два інтеграли диференціального рівняння залежні , тобто ,
Де - диференційована функція . Маємо . Терема доведена .
Loading...

 
 

Цікаве