WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Нелінійні диференціальні рівняння вищих порядків - Реферат

Нелінійні диференціальні рівняння вищих порядків - Реферат


Реферат на тему:
Нелінійні диференціальні рівняння вищих порядків
1. Загальні визначення. Існування та єдиність розв'язків рівнянь
Диференціальне рівняння -го порядку має вигляд
.
Якщо диференціальне рівняння розв'язане відносно старшої похідної, то воно має вигляд
.
Іноді його називають диференціальним рівнянням у нормальній формі. Для диференціального рівняння, розв'язаного відносно похідної, задача Коші ставиться таким чином. Потрібно знайти функцію , - раз неперервно диференційованою, що при підстановці в рівняння обертає його в тотожність і задовольняє початковим умовам . Для диференціального рівняння, не розв'язаного відносно похідної, задача Коші полягає в знаходженні розв'язку , що задовольняє початковим даним
,
де значення довільні, а один з коренів алгебраїчного рівняння .
Теорема (існування та єдиності розв'язку задачі Коші рівняння, розв'язаного відносно похідної). Нехай у деякому замкненому околі точки функція задовольняє умовам:
1) вона визначена і неперервна по всім змінним;
2) задовольняє умові Ліпшиця по всім змінним, починаючи з другого.
Тоді при , де - досить мала величина, існує і єдиний розв'язок рівняння , що задовольняє початковим умовам
.
Теорема (існування та єдиності розв'язку задачі Коші рівняння, не розв'язаного відносно похідної). Нехай у деяком замкненому околі точки функція задовольняє умовам:
1) вона визначена і неперервна по всім змінним;
2) ;
3) .
Тоді при , де - досить мала величина, існує і єдиний розв'язок рівняння , що задовольняє початковим умовам
.
Визначення. Загальним розв'язком диференціального рівняння -го порядку називається -раз неперервно диференційована функція , що обертає при підстановці рівняння в тотожність, у якій вибором сталих можна одержати розв'язок довільної задачі Коші в області існування та єдиності розв'язків.
2. Диференціальні рівняння вищих порядків, що інтегруються в квадратурах
Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах.
1) Рівняння вигляду
.
Проінтегрувавши його -раз одержимо загальний розв'язок у вигляді
.
Якщо задані умови Коші
,
то розв'язок має вигляд
2) Рівняння вигляду
.
Нехай це рівняння вдалося записати в параметричномувигляді
Використовуючи основне співвідношення , одержимо
.
Проінтегрувавши його, маємо
.
І одержимо параметричний запис рівняння -порядку
Проробивши зазначений процес ще -раз, одержимо загальний розв'язок рівняння в параметричному вигляді
3) Рівняння вигляду
.
Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді
Використовуючи основне співвідношення , одержуємо
. Проінтегрувавши, маємо
.
І одержали параметричний запис рівняння -порядку
Використовуючи попередній пункт, понизивши порядок на одиницю, запишемо
Проробивши останню процедуру -раз, запишемо загальний розв'язок у параметричному вигляді
4) Нехай рівняння вигляду
можна розв'язати відносно старшої похідної
.
Домножимо його на й одержимо
.
Перепишемо його у вигляді
.
Проінтегрувавши, маємо
,
тобто ,
або
.
Таким чином одержали параметричний запис рівняння -порядку
і повернулися до третього випадку.
3. Найпростіші випадки зниження порядку в диференціальних рівняннях вищих порядків
Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь вищого порядку, що допускають зниження порядку.
1) Рівняння не містить шуканої функції і її похідних до -порядку включно
.
Зробивши заміну: ,
одержимо рівняння -порядку .
2) Рівняння не містить явно незалежної змінної
.
Будемо вважати, що - нова незалежна змінна, а - функції від . Тоді
Після підстановки одержимо диференціальне рівняння -порядку.
3) Нехай функція диференціального рівняння
є однорідної щодо аргументів .
Робимо заміну , де - нова невідома функція. Одержимо
Після підстановки одержимо
.
Оскільки рівняння однорідне відносно , то цей член можна винести і на нього скоротити. Одержимо
диференціальне рівняння -порядку.
4) Нехай ліва частина рівняння
є похідної деякого диференціального вираза ступеня , тобто
.
У цьому випадку легко обчислюється, так званий, перший інтеграл
.
5) Нехай диференціальне рівняння
,
розписано у вигляді диференціалів
і - функція однорідна по всім перемінним. Зробимо заміну , де - нові змінні. Тоді одержуємо
, ,
Підставивши, одержимо
Скоротивши на одержимо .
Тобто одержимо диференціальне рівняння, що немістить явно незалежної змінної, або повертаємося до другого випадку.
Loading...

 
 

Цікаве