WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Основні означення та факти з теорії визначників - Реферат

Основні означення та факти з теорії визначників - Реферат

індексом.
Теорема..
Два означення визначника еквівалентні.
Користуючись другим означенням визначник матриці A можна записати аналітично так:
= ,
де сума береться по всім перестановкам чисел 1,2,...,n.
Визначники трикутного вигляду.
Нехай
= .
У визначнику можна визначити дві діагоналі. Головну діагональ утворюють елементи a11,a22,…,an-1,n-1,ann; побічну діагональ утворюють елементи a1n,a2,n-1,…,
an-1,2,an1.
Визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що знаходяться вище або нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю.
Наприклад,
= .
Визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі дорівнює добутку елементів головної діагоналі
= = a11a22…an-1,n-1ann.
Визначником трикутного вигляду відносно побічної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що знаходяться вище або нижче побічної діагоналі, дорівнюють нулю.
1 = .
Визначник трикутного вигляду відносно побічної діагоналі дорівнює добутку елементів побічної діагоналі зі знаком , де n - порядок визначника.
1 = = a1na2,n-1…an-1,2an1.
Транспонування матриці.
Нехай дана матриця A порядку m x n
A = .
Складемо нову матрицю B за такими правилами. Запишемо елементи першого рядка матриці A, зберігаючи їх порядок, до першого стовпчика матриці B. Далі елементи другого рядка матриці A,зберігаючи їх порядок, запишемо до другого стовпчика матриці B і т.д. Такий процес називається транспонуванням матриці A. В результаті одержимо матрицю B порядку n x m, яка називається транспонованою матрицею для матриці A і позначається AT.
AT = .
Зрозуміло, що (AT)T = A.
Теорема..
Нехай A - квадратна матриця. Тоді визначники матриць AT і A рівні.
Таким чином, транспонування не змінює визначника матриці. Далі будемо вважати визначники взаємно транспонованих матриць тотожними.
Властивості визначників.
Зауваження. Будемо формулювати властивості визначників для рядків визначників. Але при цьому будемо враховувати, що вони вірні і для стовпчиків визначників.
1. Якщо всі елементи деякого рядка визначника дорівнюють нулю (нульовий рядок), то визначник дорівнює нулю.
2. Якщо у визначнику переставляються місцями два рядки, то змінюється лише знак визначника.
Припустимо, що у визначнику міняються місцями і-й і j-й рядки (і j), тоді
= = - .
3. Якщо два рядки визначника співпадають, то визначник дорівнює нулю.
4. Якщо деякий рядок визначника помножується на число , то визначник помножується на .
Припустимо, що у визначнику
=
помножується на і-й рядок, тоді
= = .
З цієї властивості випливає, що якщо всі елементи деякого рядка визначника помножені на деяке число , то це число можна винести за знак визначника як множник.
Два рядки визначника називаються пропорційними, якщо один з них можна одержати помноженням другого на деяке число.
5. Якщо два рядки визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.
Нехай (bi1, bi2,…,bin) і (сi1, сi2,…,сin) - два рядки. Під сумою цих рядків розуміється рядок вигляду (bi1+сi1, bi2 +сi2,…,bin+сin).
6. Якщо у визначнику і-рядок є сумою двох рядків, то визначник можна розкласти в суму двох визначників 1 і 2 за і-м рядком таким чином, що і-рядком визначника 1 є перший доданок, а і-м рядком визначника 2 - другий доданок і-го рядка визначника . Решта рядків визначників 1 і 2 співпадають з відповідними рядками визначника .
Припустимо, що у визначнику і-й рядок є сумою двох рядків, тоді
= = + .
Аналогічно, якщо і-й рядок визначника є сумою k рядків, то визначник можна розкласти в суму k визначників за і-м рядком.
7. Якщо до рядка визначника додати інший рядок, помножений на число, то визначник не змінюється.
Нехай , ,..., деякі рядки визначника , а 1, 2,..., n - деякі числа. Тоді рядок 1 + 2 +...+ n називається лінійною комбінацією рядків , ,...,
8. Якщо у визначнику деякий рядок є лінійною комбінацією інших рядків, то визначник дорівнює нулю.
9. Якщо до рядка визначника додати лінійну комбінацію інших рядків, то визначник не змінюється.
Теорема про розклад визначника за елементами рядка (стовпчика).
Нехай
= .
Доповнюючим мінором Mij елемента aij називається визначник порядку n-1, який одержується з визначника викресленням і-го рядка і j-го стовпчика. Тобто викреслюються рядок та стовпчик, в яких знаходиться елемент aij.
Алгебраїчним доповненням елемента aij називається число
Aij=(-1)і+jMіj
Теорема.
Визначник n-го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого фіксованого рядка на їх алгебраїчні доповнення.
Наприклад, розкладемо визначник за елементами і-го рядка
= ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin.
Розкладемо визначник
=
за елементами 3-го рядка.
= 5 (-1)3+1 + 7 (-1)3+2 + (-1) (-1)3+3 +
+3 (-1)3+4 =
= 5 7 3 .
Наслідок 1. Визначник n-го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого фіксованого стовпчика на їх алгебраїчні доповнення.
Наслідок 2. Сума добутків елементів рядка (стовпчика) визначника на алгебраїчні доповнення іншого рядка (стовпчика) дорівнює нулю.
Визначник Вандермонда.
Визначником Вандермонда n-го порядку називається визначник
n = .
Визначник Вандермонда дорівнює
n = (a2-a1)(a3-a1)(a3-a2) … (an-a1)(an-a2) … (an-an-1) = .
Loading...

 
 

Цікаве