WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Метод розкладу визначника в суму визначників - Реферат

Метод розкладу визначника в суму визначників - Реферат

0).
..................................................................................................
(anb1, anb2, anb3,…, xn) = (anb1,anb2,anb3, …, xn-anbn+ anbn) =
= (anb1,anb2, anb3,…, anbn) + (0,0,0,…, xn-anbn).
За першим рядком визначник розкладемо в суму двох визначників:
= .+
+ .
Далі кожен з одержаних визначників розкладемо в суму двох визначників за другим рядком. Одержуємо суму чотирьох визначників:
= .+
+ +
+ +
+ .
Кожний з одержаних визначників можна розкласти в суму двох визначників за 3-м рядком і т.д. На кожному кроці число доданків збільшується в два рази. Після розкладу в суму послідовно за всіма рядками одержуємо суму 2n визначників.
Рядки, в суму яких розкладається даний рядок початкового визначника, поділимо на два типи. Рядками першого типу будемо вважати рядки (a1b1,a1b2, a1b3,…, a1bn), (a2b1,a2b2, a2b3,…, a2bn), (a3b1, a3b2, a3b3,…, a3bn),..., (anb1,anb2, anb3,…, anbn). Рядки другого типу - це рядки (x1-a1b1,0, 0,…, 0), (0,x2-a2b2,0,…, 0), (0,0,x3-a3b3,…, 0),..., (0,0,0,…, xn-anbn). Після розкладу визначника в суму послідовно за всіма рядками одержуємо суму визначників, які мають лише рядки першого та другого типів. Неважко переконатись в тому, що рядки першого типу пропорційні. Тому визначник, якиймає принаймні два рядки першого типу, дорівнює нулю. Для того, щоб знайти величину визначника , достатньо взяти лишу суму ненульових визначників. У кожному з таких визначників не більше одного рядка першого типу. Якщо визначник не має рядків першого типу, то всі його рядки другого типу і визначник має вигляд
0= .
Якщо у визначнику єдиний рядок першого типу, то решта рядків є рядками другого типу. Рядок першого типу у такому визначнику може бути на першому місці, на другому і т.д. Тому існує n таких визначників:
1= ,
2= ,
3= ,
................................................................................
n= .
Таким чином,
= 0+ 1+ 2+ 3+...+ n.
Визначник 0 є визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Тому
0= = (x1-a1b1)(x2-a2b2)(x3-a3b3)… (xn-anbn).
Обчислимо визначник i при і 1.
і = .
Розкладемо визначник і на за елементами і-го стовпчика:
і = (-1)і+iaіbі =
= (-1)2і aіbі (x1-a1b1)(x2-a2b2)(x3-a3b3)...(xі-1-aі-1bі-1) (xі+1-aі+1bі+1)…(xn-anbn) =
= aіbі (x1-a1b1)(x2-a2b2)(x3-a3b3)...(xі-1-aі-1bі-1) (xі+1-aі+1bі+1)…(xn-anbn).
Одержуємо
= 0+ 1+ 2+ 3+...+ n = (x1-a1b1)(x2-a2b2)(x3-a3b3)… (xn-anbn) +
+ a1b1 (x2-a2b2)(x3-a3b3)...(xn-anbn) + a2b2 (x1-a1b1)(x3-a3b3)...(xn-anbn) +
+ a3b3 (x1-a1b1)(x2-a2b2)(x4-a4b4)...(xn-anbn) +...+ anbn (x1-a1b1)(x2-a2b2)(x3-a3b3)…(xn-1-an-1bn-1) = = (x1-a1b1)(x2-a2b2)(x3-a3b3)…(xn-anbn) .
Приклад 18. Обчислити визначник
= .
Розв'язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n. Розкладемо кожний рядок визначника в суму двох рядків:
(a1-x1y1, a1-x1y2, a1-x1y3,…,a1-x1yn) = (a1, a1, a1,…,a1) + (-x1y1,-x1y2,-x1y3,…,-x1yn)
(a2-x2y1, a2-x2y2, a2-x2y3,…,a2-x2yn) = (a2, a2, a2,…,a2) + (-x2y1,-x2y2,-x2y3,…,-x2yn)
(a3-x3y1, a3-x3y2, a3-x3y3,…,a3-x3yn) = (a3, a3, a3,…,a3) + (-x3y1,-x3y2,-x3y3,…,-x3yn)
………………………………………………………………………………………
(an-xny1, an-xny2, an-xny3,…,an-xnyn) = (an, an, an,…,an) + (-xny1,-xny2,-xny3,…,-xnyn).
Розкладемо визначник в суму двох визначників за другим рядком:
= +
+ .
Далі кожен з двох одержаних визначників можна розкласти в суму двох визначників за другим рядком. Одержуємо суму чотирьох визначників:
= +
+ +
+ +
+ .
Кожний з одержаних визначників можна розкласти в суму двох визначників за 3-м рядком і т.д. Після розкладу в суму послідовно за всіма рядками одержуємо 2n визначників.
Рядки, в суму яких розкладаються рядки початкового визначника, умовно поділимо на два типи. Рядками першого типу будемо вважати рядки (a1, a1, a1,…,a1), (a2, a2, a2,…,a2), (a3, a3, a3,…,a3),..., (an, an, an,…,an). Рядками другого типу будемо вважати рядки (-x1y1,-x1y2, -x1y3,…,-x1yn), (-x2y1,-x2y2,-x2y3,…,-x2yn), (-x3y1,-x3y2,-x3y3,…,-x3yn),...,(-xny1,-xny2,-xny3,…,-xnyn). Після розкладу визначника в суму 2n визначників кожен з цих визначників складається з рядків або першого, або другого типу. Але два рядки першого типу пропорційні, також пропорційні два рядки другого типу. При n 3 кожен з одержаних визначників має принаймні два рядки одного типу, тобто пропорційні рядки. Це означає, що при n 3 кожен з 2n визначників, в суму яких розкладається початковий визначник, дорівнює нулю, а тому =0.
Залишається розглянути випадки n = 1, n = 2.
При n = 1 = a1-x1y1.
При n = 2 розкладемо визначник в суму двох визначників за першим рядком
= = + .
Кожен з одержаних визначників розкладемо в суму двох визначників за другим рядком. Одержуємо суму чотирьох визначників.
= + + + .
Серед одержаних чотирьох визначників перший і останній дорівнюють нулю, оскільки мають пропорційні рядки, тому
= + .
Виносимо множники з рядків визначників:
= -a1x2 x1a2 = -a1x2 (y2-y1) -x1a2 (y1-y2) =
= a1x2 (y1-y2) -x1a2 (y1-y2) = (y1-y2) (a1x2 -x1a2).
Задачі для самостійного розв'язування.
Обчислити визначники методом розкладу в суму.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Список літератури
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М., 1965.
2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М., 1984.
3. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М., 1977.
Loading...

 
 

Цікаве