WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Зведення визначників до визначника Вандермонда - Реферат

Зведення визначників до визначника Вандермонда - Реферат


Реферат на тему:
Зведення визначників до визначника Вандермонда
Визначником Вандермонда порядку n називається визначник вигляду
n = .
Як відомо,
n = . = .
Розглянемо приклади зведення визначників до визначника Вандермонда.
Приклад 19. Обчислити визначник
= .
Розв'язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (наприклад, у другому рядку n елементів). Додамо до другого рядка перший:
= .
Далі, в одержаному визначнику до третього рядка додамо другий:
== .
Аналогічно, до четвертого рядка додамо третій. В одержаному після цього визначнику до п'ятого рядка додамо четвертий і т.д. В результаті, після додавання до n-го рядка (n-1)-го одержуємо визначник
== .
Цей визначник є визначником Вандермонда порядку n, а тому
=
Приклад 20. Обчислити визначник
=
Розв'язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n +1 (у першому рядку n +1 елементів). Якщо всі рядки визначника записати у зворотному порядку, одержимо визначник Вандермонда порядку n +1. Для обчислення даного визначника будемо переставляти рядки. Як відомо, кожна перестановка двох рядків змінює знак визначника, що означає помноження визначника на -1. Спочатку будемо переставляти останній рядок визначника так, щоб винести його на перше місце і при цьому не міняти взаємне розміщення інших рядків. Для цього переставимо (n +1)-й рядок з n-м, знак визначника змінюється:
= (-1) .
Далі, у цьому визначнику n-й рядок переставляється з (n -1)-м и т.д. В результаті, після виконання n таких сусідніх перестановок рядків одержуємо
= (-1)n .
Далі, в одержаному визначнику переставляємо останній рядок так, щоб винести його на друге місце, не змінюючи взаємне розміщення інших рядків. Для цього потрібно n -1 сусідніх перестановок рядків, тобто
= (-1)n(-1)n-1 .
В одержаному визначнику, аналогічно, останній рядок переставляємона 3 місце за допомогою n -2 сусідніх перестановок і т.д. Нарешті, на останньому кроці переставляємо два останніх рядки і одержуємо
= (-1)n(-1)n-1(-1)n-2…(-1)2(-1)1 =
= (-1)n+(n-1)+(n-2)+…+2+1 =
= .
Одержаний визначник є визначником Вандермонда порядку n +1. Тому
=
Неважко бачити, що число співмножників у добутку дорівнює .
Дійсно,
= ... .
У першому з цих добутків n співмножників, у другому n -1 співмножників і т.д. Число всіх співмножників дорівнює n+ (n -1) + (n -2) +...+ 2 + 1 = .
У кожному зі співмножників одержаного добутку міняємо знак, тобто помножаємо співмножник на -1. Остаточно одержуємо
= .
Приклад 21. Обчислити визначник
= .
Розв'язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (у кожному стовпчику n елементів). З рядків визначника будемо виносити множники так, щоб одержати визначник, всі елементи першого стовпчика якого рівні 1. Для цього з першого рядка виносимо множник , з другого рядка множник , нарешті, з останнього рядка множник .
= ... = =
= .
Далі, з другого стовпчика одержаного визначника віднімемо перший:
= .
З третього стовпчика визначника віднімемо другий:
= .
Далі, з четвертого стовпчика визначника віднімемо третій і т.д. Нарешті, з останнього n-го стовпчика віднімаємо (n-1)-й стовпчик. Одержуємо визначник Вандермонда:
= .
Таким чином,
= .
Задачі для самостійного розв'язування.
Обчислити визначник методом зведення до визначника Вандермонда
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Список літератури
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М., 1965.
2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М., 1984.
3. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М., 1977.
Loading...

 
 

Цікаве