WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Метод зведення визначника до трикутного вигляду - Реферат

Метод зведення визначника до трикутного вигляду - Реферат

стовпчику залишається лише один ненульовий елемент. Далі аналогічно від (n-1)-го стовпчика віднімемо (n-2)-й, від (n-2)-го (n-3)-й і, нарешті, від 2-го стовпчика віднімемо 1-й. Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно побічної діагоналі
= .
Порядок визначника дорівнює n, а тому
=
Приклад 5. Обчислити визначник
= .
Розв'язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n+1 (у першому рядку елементами є степеня змінної x від 0 до n). Будемо зводити визначник до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Неважко переконатись в тому, що елементи першого рядка, починаючи з другого, можна одержати помноженням відповідних елементів другого рядка на x. Тому, віднімаючи від першого рядка другий рядок, помножений на x, одержимо на місці цих елементів нулі. Тобто,
= .
Далі, аналогічно, від другого рядка віднімемо 3-й, помножений на x, від 3-го рядка віднімемо 4-й, помножений на x, і нарешті від (n-1)-го рядка віднімемо n-й, помножений на x:
= .
Всі елементи визначника, що знаходяться вище головної діагоналі, дорівнюють нулю. Таким чином, ми одержали визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі і
= (1- a11x)(1-a22x)(1-a33x)…(1-annx) 1 =
Приклад 6. Обчислити визначник порядку n
= .
Розв'язування. У визначниках такого вигляду зручно на першому кроці від кожного рядка, починаючи з другого, відняти перший рядок. Одержуємо визначник
= .
Далі визначник неважко звести до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Для цього можна, наприклад, додати до першого стовпчика суму всіх інших стовпчиків. Згідно з властивостями визначника, його величина при цьому не змінюється. Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі.
= .
Порядок визначника дорівнює n, а тому
= (n-1) x (-x)n-1 = (-1)n-1(n-1)xn.
Визначник можна зводити до трикутного вигляду різними способами. Наприклад, для даного визначника можна запропонувати ще один спосіб зведення. Неважко бачити, що у початковому визначнику сума елементів кожного рядка і кожного стовпчика однакова. Тому додамо до першого рядка початкового визначника суму всіх інших рядків. При цьому величина визначника не змінюється
= .
Перший рядок визначника складається з однакових елементів, а тому з цього рядка можна винести множник за знак визначника
= (n-1)x .
Далі одержуємо нулі нижче головної діагоналі. Для цього достатньо відняти від всіх рядків визначника, починаючи з другого, перший рядок, помножений на x.
= (n-1)x .
Одержали визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі.
= (n-1) x (-x)n-1 = (-1)n-1(n-1)xn.
Приклад 7. Обчислити визначник порядку n
= .
Розв'язування. Помножимо перший рядок визначника на x. З властивостей визначників випливає, що при цьому визначник помножається на x, тобто
= .
Далі аналогічно помножуємо перший стовпчик визначника на x. Визначник помножається на x ще один раз
= .
Одержуємо визначник, який співпадає з визначником з попереднього прикладу. У цьому визначнику від всіх рядків, починаючи з другого, віднімаємо перший рядок:
= .
Далі до першого стовпчика додамо суму всіх інших стовпчиків
= .
Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі, а тому
= (n-1)x (-x)n-1= (-1)n-1(n-1)xn = (-1)n-1(n-1)xn-2.
Приклад 8. Обчислити визначник
= .
Розв'язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (на головній діагоналі n елементів). Будемо перетворювати визначник таким чином, щоб одержати визначник, всі елементи головної діагоналі якого дорівнюють 1. Для цього з другого стовпчика визначника винесемо множник - число 2, з третього - множник 3, і нарешті з останнього - множник n. Одержуємо
=2 3 ... n = n!
В одержаному визначнику всі елементи першого стовпчика, починаючи з другого, співпадають з відповідними елементами головної діагоналі. Тому, віднімаючи від першого стовпчика суму всіх інших стовпчиків, одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі
=n! .
Таким чином,
= n!(1- )
Приклад 9. Обчислити визначник
= .
Розв'язування. Порядок визначника дорівнює n (число елементів на головної діагоналі дорівнює n). У цьому визначнику можна відняти перший рядок від всіх інших рядків. = .
Звертаємо увагу на те, що всі елементи першого стовпчика одержаного визначника, починаючи з 2-го дорівнюють -1. Тому перетворюємо визначник так, щоб діагональні елементи, починаючи з 2-го, були рівними 1. Для цього з другого стовпчика виносимо множник - число 2, з третього - число 3, і нарешті з n-го - число n:
= 2 3 ... n = n!
В одержаному визначнику до першого стовпчика додаємо суму інших стовпчиків:
= n! .
Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Тому
= n!(1+x+ ).
Приклад 10. Обчислити визначник
= .
Розв'язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (число елементів на побічній діагоналі дорівнює n). Віднімемо перший рядок від всіх інших рядків
= .
У цьому визначнику всі елементи n-го стовпчика, починаючи з другого, дорівнює x-a1. Будемо перетворювати визначник так, щоб всі елементи побічної діагоналі, починаючи з другого, були рівними 1. Для цього з першого стовпчика винесемо множник (an-x), з другого - (an-1-x), нарешті з (n-1)-го - множник (a2-x).
= (an-x) (an-1-x)... (a2-x) .
Далі з останнього стовпчика визначника віднімемо суму всіх інших стовпчиків, помножених на (x-a1). Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно побічної діагоналі
= (an-x) (an-1-x)... (a2-x) .
Оскільки порядок визначника дорівнює n,
= (an-x) (an-1-x)... (a2-x) =
= (an-x)(an-1-x)...(a2-x) =
= x(a1-x)(a2-x)…(an-1-x)(an-x) .
Приклад 11. Обчислити визначник
=
Розв'язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n+1 (у першому рядку (n+1) елементів). Будемо зводити визначник до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Для цього будемо перетворювати визначник таким чином, щоб одержати визначник, всі елементи якого, що знаходяться нижче головної діагоналі, дорівнюють 0. Зрозуміло, якщо до першого стовпчика визначника додати другий, то на другому місці у першому стовпчику з'являється 0, але на третьому місці замість 0 з'являється -x. Таким чином, слід додати ще третій стовпчик. Тобто, для того, щоб у першому стовпчику всі елементи, починаючи з другого, були рівними нулю, слід додати до першого стовпчика суму всіх інших стовпчиків. Одержуємо
= .
Далі, аналогічно, до 2-го стовпчика додаємо всі стовпчики, починаючи з 3-го, до 3-го - всі стовпчики, починаючи з 4-го, і нарешті до n-го стовпчика додамо останній.Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі.
= .
Оскільки порядок визначника дорівнює n+1, одержуємо:
= (a0+a1+a2+…+an)xn.
Задачі для самостійного розв'язування
Обчислити визначники методом зведення до трикутного вигляду
1.
2.
3.
4.
5. (порядок визначника дорівнює n)
6. (порядок визначника дорівнює n)
7.
Loading...

 
 

Цікаве