WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Метод зведення визначника до трикутного вигляду - Реферат

Метод зведення визначника до трикутного вигляду - Реферат


Реферат на тему:
Метод зведення визначника до трикутного вигляду
Визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що стоять вище або нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий визначник дорівнює добутку елементів його головної діагоналі.
= a11a22…ann
Визначником трикутного вигляду відносно побічної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що стоять вище або нижче побічної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий визначник складається лише з одного добутку елементів побічної діагоналі. Знак при цьому добутку визначається як , де n - порядок визначника.
= a1na2,n-1…an1
Метод зведення визначника до трикутного вигляду полягає в тому, що, користуючись властивостями визначників, даний визначник перетворюється так, щоб одержати визначник трикутного вигляду відносно головної або побічної діагоналі, і далі одержується результат.
Нехай задано визначник n-го порядку загального вигляду.
Будемо зводити цей визначник до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Якщо всі елементи першого стовпчика дорівнюють нулю, то = 0. В супротивному випадку будемо вважати, що a11 0 (інакше знаходимо в першому стовпчику ненульовий елемент і рядок, в якому він знаходиться, додамо до першого рядка). Будемо перетворювати визначник так, щоб одержати визначник, в якому всі елементи першого стовпчика, крім першого, дорівнюють 0. Для цього віднімемо від другого рядка перший, помножений на число . Далі від третього рядка віднімемо перший, помножений на число . Продовжуючи цей процес, нарешті від n-го рядка віднімемо перший, помножений на число Згідно з властивостями визначників, ці перетворення не змінюють величини визначника . Одержуємо визначник
=
Якщо в цьому визначнику всі елементи b22, b32,…,bn2 дорівнюють 0, то = 0. Дійсно, якщо розкласти в такому випадку визначник за елементами першого стовпчика, одержуємо = a11 A11, де A11 - алгебраїчне доповнення елемента a11; A11 = (-1)1+1 M11 де M11 - доповнюючий мінор елемента a11; M11 - визначник порядку n-1, перший стовпчик якого нульовий, тому M11 = 0, звідки A11 = 0 і = 0. Тому далі будемо вважати, що серед елементів b22, b32,…,bn2 є ненульові, а тоді можна вважати b22 0 (в супротивному випадку можна до другого рядка додати деякий рядок, що стоїть після нього і другий елемент якого не дорівнює нулю). Далі перетворюємо визначник так, щоб одержати визначник, в якому всі елементи другого стовпчика, починаючи з третього, дорівнюють нулю. Для цього спочатку від третього рядка віднімаємо другий, помножений на число . Далі, аналогічно, від четвертого рядка віднімемо другий, помножений на число . Продовжуючи цей процес, нарешті від n-го рядка віднімаємо другий, помножений на . Всі ці перетворення не змінюють величини визначника. В результаті одержуємо визначник
= .
Продовжуючи цей процес одержання нулів нижче головної діагоналі, через скінчене число кроків або переконаємось в тому, що = 0, або зведемо визначник до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. В цьому випадку
= ,
причому x11= a11 0, x22= b22 0, x33= c33 0,…, xnn 0. Отже,
= x11x22x33...xnn
Методом зведення до трикутного вигляду можна обчислювати визначники малих порядків.
Приклад 1. Обчислити визначник
=
Розв'язування. Перший стовпчик визначника ненульовий, і в ньому на першому місці стоїть ненульовий елемент. Тому можна в першому стовпчику одержати нулі на всіх місцях, починаючи з другого. Для цього від другого рядка віднімаємо перший, помножений на 2:
= .
Далі від третього рядка віднімаємо перший, помножений на 3:
= .
Від четвертого рядка віднімаємо перший, помножений на 2:
= .
Нарешті від п'ятого рядка віднімемо перший:
= .
У другому стовпчику одержаного визначника на другом місці знаходиться ненульовий елемент. Тому одержуємо нулі у другому стовпчику на всіх місцях, починаючи з третього. Для цього від третього рядка віднімемо другий, від четвертого віднімемо другий, помножений на 11, і до п'ятого рядка додамо другий, помножений на 2.
= .
У третьому стовпчику одержаного визначника на другому місці знаходиться ненульовий елемент. Одержуємо нулі у третьому стовпчику, починаючи з четвертого місця. Для цього до четвертого рядка додамо третій помножений на 10, а від п'ятого віднімемо третій, помножений на 4
= .
У даному визначнику четвертий елемент четвертого стовпчика не дорівнює нулю. Тому можна від п'ятого рядка відняти четвертий, помножений на і одержати визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі
= .
Тоді = 1 (-1) 1 (-3) = 52
На практиці рекомендується при обчисленні визначників з цілими елементами на кожному кроці одержувати визначники також з цілими елементами. У нашому випадку перед виконанням останнього кроку перетворень можна було, наприклад, перейти від визначника
=
до визначника
=
відніманням від п'ятого рядка четвертого, помноженого на 2. Далі переставимо четвертий і п'ятий рядки. Як відомо, при цьому змінюється знак визначника:
= .
Нарешті до п'ятого рядка додамо четвертий, помножений на 3:
= .
Таким чином, = (1 (-1) 1 1 52) = 52.
Розглянемо тепер деякі приклади обчислення визначників n-го порядку методом зведення до трикутного вигляду. При обчисленні визначників n-го порядку будемо суттєво користуватись закономірностями в будові цих визначників.
Приклад 2. Обчислити визначник
= .
Розв'язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (наприклад, у першому рядку елементами є всі натуральні числа від 1 до n, кількість їх дорівнює n). Кожен рядок визначника, починаючи з другого, відрізняється від першого рядка лише єдиним елементом, а саме елементом, який стоїть на головній діагоналі. Тому можна від кожного рядка, починаючи з другого, відняти перший рядок. Одержуємо
= .
Всі елементи одержаного визначника, що знаходяться нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю. Таким чином, ми одержали визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі, а тому
= 1 1 2 ... (n-2) (n-1) = (n-1)!
Приклад 3. Обчислити визначник порядку n
= .
Розв'язування. В цьому визначнику всі елементи, яки знаходяться вище головної діагоналі, а також всі елементи головної діагоналі однакові. Визначник можна звести до трикутного вигляду відносно головної діагоналі, одержуючи нулі вище діагоналі. Віднімемо від першого рядка визначника другий. Одержуємо
= .
Далі, аналогічно від другого рядка віднімемо 3-й, від 3-го 4-й і нарешті, від (n -1)-го - n-й.
= .
Порядок визначника дорівнює n, а тому
= x (x-y)n-1.
Приклад 4. Обчислити визначник
=
Розв'язування. Порядок визначника дорівнює n (елементи першого рядка - всі натуральні числа від 1 до n, тобто кількість їх дорівнює n). Всі елементи визначника на побічній діагоналіі нижче побічної діагоналі однакові. Тому визначник можна звести до трикутного вигляду відносно побічної діагоналі. Для цього віднімемо від n-го стовпчика визначника (n-1)-й стовпчик.
= .
В останньому
Loading...

 
 

Цікаве