WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Застосування векторів до розв’язування простих задач на площині та в просторі(пошукова робота) - Реферат

Застосування векторів до розв’язування простих задач на площині та в просторі(пошукова робота) - Реферат


Пошукова робота
на тему:
Застосування векторів до розв'язування простих задач на площині та в просторі. Рівняння та нерівності першого степеня на площині та в просторі, їх геометричний зміст. Системи рівнянь і нерівностей першого степеня.
План
" Застосування векторів до розв'язування простих задач на площині.
" Математичний опис ліній, поверхонь, тіл.
" Загальні поняття про лінії.
" Алгебраїчні лінії та поверхні.
" Лінії і фігури на площині.
" Параметричні рівняння ліній.
" Рівняння та нерівності першого степеня на площині та в просторі , їх геометричний зміст.
" Системи рівнянь і нерівностей першого степеня.
3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
3.1. Математичний опис ліній, поверхонь, тіл
3.1.2. Загальні поняття про рівняння
Нехай в просторі задана прямокутна декартова система координат. Розглянемо сферу радіуса центр якої знаходиться в точці з координатами Сферою називається геометричне місце точок, що знаходяться від центра на одній і тій же відстані Позначивши через координати довільної точки що лежить на сфері, і виразимо через них рівність Ми одержимо
Піднісши в квадрат обидві частини рівності, одержимо більш зручнішу форму
Очевидно, що це співвідношення виконується для всіх точок сфери і тільки для них, і, отже, його можна розглядати як рівняння сфери в розглядуваній системі координат.
Розглянемо ще один приклад із геометрії на площині. Графіком функції називається лінія що складається із точок, координати яких зв'язані співвідношенням Якщо нас цікавить в першу чергу лінія, а не функція, ми можемо стати на іншу точку зору і вважати, що співвідношення є рівнянням лінії
Нехай вибрана система координат. Під рівнянням множини в цій системі координат ми будемо розуміти вираз визначення через координати його точок, тобто вислів, який вірний для координат точок, що належать , і невірний для координат точок, які йому не належать.
Часто рівнянню множини точок в планіметрії надається форма
де функція від двох змінних, а в стереометрії - де функція від трьох змінних. Написаний вище вираз для сфери має такий вигляд, якщо перенести в ліву частину.
Означення 1. Рівняння , що зв'язує координати в деякій декартовій системі координат на площині, називається рівнянням лінії якщо координати точок, що лежать на цій лінії, задовольняють даному рівнянню, а координати точок, що не лежать на лінії, йому не задовольняють.
Аналогічно можна дати означення рівняння поверхні
Означення 2. Рівняння , що зв'язує координати в деякій декартовій системі координат на просторі, називається рівнянням поверхні якщо координати точок, що лежать на цій поверхні, задовольняють даному рівнянню, а координати точок, що не лежать на поверхні, йому не задовольняють.
3.2.2. Алгебраїчні лінії і поверхні
Визначення довільних множин точок - задача цілком неоглядна. Визначимо порівняно вузький клас множин, хоча й широкий, щоби детально його вивчити.
Означення 1. Алгебраїчною лінією на площині називається множина, яка в якій-небудь декартовій системі координат на площині може бути задана рівнянням вигляду
(3.1)
причому всі показники - невід'ємні цілі числа. Найбільша із сум
називається степенем рівняння, а також порядком алгебраїчної лінії.
Означення 2. Алгебраїчною поверхнею називається множина, яка в якій-небудь декартовій системі координат може бути задана рівнянням вигляду
(3.2)
причому всі показники - невід'ємні цілі числа. Найбільша із сум
називається степенем рівняння, а також порядком алгебраїчної поверхні.
Це означення означає, зокрема, що сфера є алгебраїчною поверхнею другого порядку.
Приведені означення мають істотній недолік. А саме, невідомо, який вигляд буде мати рівняння поверхні чи лінії в якій-небудь іншій декартовій системі координат. Якщо ж рівняння і має в деякій іншій системі координат вигляд (3.5) чи (3.6), то степінь якого із цих рівнянь ми будемо називати порядком лінії чи поверхні. Відповіддю на поставлене питання дають теореми, які називаються теоремами про інваріантність (незмінність) порядку лінії (поверхні).
Теорема. При переході від однієї декартової системи координат до іншої порядок алгебраїчної лінії (поверхні) не змінюється.
Зауваження. Властивість інваріантності порядку алгебраїчної лінії на площині чи поверхні не відноситься до різних рівнянь, якими може задаватися лінія чи поверхня в одній і тій же системі координат. Хоча такі рівняння є еквівалентними, серед них можуть бути рівняння різних степенів і навіть такі, які не мають вигляду (3.5) чи (3.6). Дійсно, наступні три рівняння визначають коло радіуса з центром в початку координат:
3.2.3. Лінії і фігури на площині
А. Лінії в прямокутній системі координат.
Між точками площини у декартовій (прямокутній) системі координат і парами дійсних чисел - координатами точок встановлена взаємно однозначна відповідність.
Як було показано в п.3.2.1, лінія на площині може задаватися або рівнянням
або
.
У першому рівнянні величина виражена явно через , тому таке рівняння називають явним рівнянням лінії, а в другому рівнянні - неявним, бо в ньому не виражено явно через . Слід зауважити, що не завжди вдається з неявного рівняння одну із змінних виразити через іншу. Проте це не перешкода для дослідження лінії за її рівнянням, хоча ці дослідження, як правило, більш складні, ніж у випадку явного задання лінії рівнянням.
Зрозуміло, що координати будь-якої точки, яка належить лінії, задовольняють її рівняння, а координати точки, яка не належить лінії, не задовольняють його. Таке рівняння і називається рівнянням лінії.
Приклад 1. Рівняння , де - дійсне число, визначає лінію, абсциса кожної точки якої дорівнює , а координата може набувати будь-яких значень між і . Таку властивість має пряма лінія, кожна точка якої віддалена від осі на величину . Зрозуміло тепер, що рівнянням цієї лінії є пряма, паралельна осі і розміщена на віддалі від неї.
Аналогічно, рівняння є прямою, паралельною осі і віддаленою від цієї осі на величину . Очевидно, що рівняння і є відповідно рівняннями осей і .
Приклад 2. Із шкільного курсу математики відомо, що рівняння , де і - числа, є рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом і відсікає на осі відрізок .
Приклад 3. Напишемо рівняння множини точок, однаково віддалених від осі і від точки .
Р о з в 'я з о к. Згідно з умовою задачі (рис.3.1), де - точка, що належить кривій. Очевидно, що , а є віддаллю між двома точками площини; тоді . Отже, . Піднісши обидві частини рівності до квадрата, одержимо
.
Графіком цієї лінії є парабола.
Важливою задачею є знаходження точки перетину двох ліній. Нехай дві лінії задані рівнянням
Рис.3.1 і .
Якщо ці лінії перетинаються, тоіснує точка, спільна для обох ліній. Тому її координати повинні задовольняти обидва рівняння. Отже, для знаходження точки їх перетину треба розв'язати систему рівнянь:
Може виявитись, що ця система має кілька дійсних розв'язків. Це означатиме, що ці дві лінії перетинаються в такій самій кількості точок. Якщо
Loading...

 
 

Цікаве