WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Лінійні неоднорідні системи - Реферат

Лінійні неоднорідні системи - Реферат


Реферат на тему:
Лінійні неоднорідні системи
Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді
чи у векторно-матричному вигляді
називається системою лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.
1. Властивості розв'язків лінійних неоднорідних систем
Властивість 1. Якщо вектор є
розв'язком лінійної неоднорідної системи, a розв'язком відповідної лінійної однорідної системи, то сума - є розв'язком лінійної неоднорідної системи.
Дійсно, за умовою
і .
Але тоді і
тобто є розв'язком неоднорідної системи.
Властивість 2 (Принцип суперпозиції). Якщо вектори , є розв'язками лінійних неоднорідних систем
, ,
де , то вектор , де - довільні сталі буде розв'язком лінійної неоднорідної системи
.
Дійсно, за умовою виконуються - тотожностей
.
Склавши лінійну комбінацію з лівих і правих частин, одержимо
,
тобто лінійна комбінація буде розв'язком системи
.
Властивість 3. Якщо комплексний вектор з дійсними елементами є розв'язком неоднорідної системи , де , , , то окремо дійсна і уявна частини є розв'язками системи.
Дійсно, за умовою
.
Розкривши дужки і перетворивши, одержимо
.
Але комплексні вирази рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні дійсні та уявні частини, що і було потрібно довести.
Теорема (про загальний розв'язок лінійної неоднорідної системи). Загальний розв'язок лінійної неоднорідної системи складається із суми загального розв'язку однорідної системи і якого-небудь частинного розв'язку неоднорідної системи.
Доведення. Нехай - загальний розв'язок однорідної системи і - частинний розв'язок неоднорідної. Тоді, як випливає з властивості 1, їхня сума буде розв'язком неоднорідної системи.
Покажемо, що цей розв'язок загальний, тобто підбором сталих , можна розв'язати довільну задачу Коші
.
Оскільки - загальний розв'язок однорідного рівняння, то вектори лінійно незалежні і система алгебраїчних рівнянь
має єдине розв'язок , . І лінійна комбінація с отриманими сталими , є розв'язком поставленої задачі Коші.
2. Побудова частинного розв'язку неоднорідної системи методом варіації довільних сталих
Як випливає з останньої теореми, для побудови загального розв'язку неоднорідної системи потрібно розв'язати однорідну і яким-небудь засобом знайти частинний розв'язок неоднорідної системи. Розглянемо метод, який називається методом варіації довільної сталої.
Нехай маємо систему
і -загальний розв'язок однорідної системи. Розв'язок неоднорідної будемо шукати в такому ж вигляді, але вважати не сталими, а невідомими функціями, тобто і ,чи в матричній формі
,
де -фундаментальна матриця розв'язків, - вектор з невідомих функцій. Підставивши в систему, одержимо
,
чи
.
Оскільки - фундаментальна матриця, тобто матриця складена з розв'язків, то
.
і залишається система рівнянь .
Розписавши покоординатно, одержимо
Оскільки визначником системи є визначник Вронського і він не дорівнює нулю, то система має єдиний розв'язок і функції визначаються в такий спосіб
Звідси частинний розв'язок неоднорідної системи має вигляд
.
Для лінійної неоднорідної системи на площині
метод варіації довільної сталої реалізується таким чином.
Нехай
.
Фундаментальна матриця розв'язків однорідної системи. Тоді частинний розв'язок неоднорідної шукається у вигляді
Звідси
І загальний розв'язок має вигляд
, ,
де - довільні сталі.
4. Метод невизначених коефіцієнтів
Якщо система лінійних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами, а векторна функція спеціального виду, то частинний розв'язок можна знайти методом невизначених коефіцієнтів. Доведення існування частинного розв'язку зазначеного виду аналогічно доведенню для лінійних рівнянь вищих порядків.
1) Нехай кожна з компонент вектора є многочленом степеня не більш ніж , тобто
.
а) Якщо характеристичне рівняння не має нульового кореня, тобто , , то частинний розв'язок шукається в такому ж вигляді, тобто
.
б) Якщо характеристичне рівняння має нульовий корінь кратності , тобто , те частинний розв'язок шукається у вигляді многочлена степеня , тобто
.
Причому перші - коефіцієнти , , знаходяться точно, а інші з точністю до сталих інтегрування , що входять у загальний розв'язок однорідних систем.
2) Нехай має вид
.
а) Якщо характеристичне рівняння не має коренем значення , тобто , , то частинний розв'язок шукається в такому ж вигляді, тобто
.
б) Якщо є коренем характеристичного рівняння кратності , тобто , то частинний розв'язок шукається у вигляді
.
І, як у попередньому пункті, перші - коефіцієнти , , знаходяться точно, а інші з точністю до сталої інтегрування .
3) Нехай має вигляд:
а) Якщо характеристичне рівняння не має коренем значення , то частинний розв'язок шукається в такому ж вигляді, тобто
б) Якщо є коренем характеристичногорівняння кратності , то частинний розв'язок має вигляд
Loading...

 
 

Цікаве