WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами - Реферат

Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами - Реферат


Реферат на тему:
Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами
Система диференціальних рівнянь вигляду
де - сталі величини, називається лінійною однорідною системою з сталими коефіцієнтами. У матричному вигляді вона записується
.
1. Розв'язування систем однорідних рівнянь з сталими коефіцієнтами методом Ейлера.
Розглянемо один з методів побудови розв'язку систем з сталими коефіцієнтами.
Розв'язок системи шукаємо у вигляді вектора
.
Підставивши в систему диференціальних рівнянь, одержимо
Скоротивши на , і перенісши всі члени вправо, запишемо
Отримана однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь має розв'язок тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто
.
Це рівняння, може бути записаним у векторно-матричній формі
і воно називається характеристичним (чи віковим) рівнянням. Розкриємо його
.
Алгебраїчне рівняння -го ступеня має -коренів. Розглянемо різні випадки.
1. Всі корені характеристичного рівняння (власні числа матриці ) дійсні і різні. Підставляючи їх по черзі в систему алгебраїчних рівнянь
одержуємо відповідні ненульові розв'язки системи
, , … ,
що являють собою власні вектори, які відповідають власним числам , .
У такий спосіб одержимо - розв'язків
, , … , ...
Причому оскільки -різні а - відповідні їм власні вектори, то розв'язки - лінійно незалежні, і загальний розв'язок системи має вигляд
.
Або у векторно - матричної формі запису
,
де - довільні сталі.
2. Нехай пара комплексно спряжених коренів. Візьмемо один з них, наприклад . Комплексному власному числу відповідає комплексний власний вектор
і, відповідно, розв'язок
Використовуючи залежність , перетворимо розв'язок до вигляду:
.
І, як випливає з властивості 4 розв'язків однорідних систем, якщо комплексна функція дійсного аргументу є розв'язком однорідної системи, то окремо дійсна і уявна частини також будуть розв'язками, тобто комплексним власним числам відповідають лінійно незалежні розв'язки
, .
3. Якщо характеристичне рівняння має кратний корінь кратності , тобто , то розв'язок системи рівнянь має вигляд
.
Підставивши його у вихідне диференціальне рівняння і прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях, одержимо - рівнянь, що містять -невідомих. Тому що корінь характеристичного рівняння має кратність , то ранг отриманої системи . Уводячи довільних сталих і розв'язуючи систему, одержимо
, , .
2. Розв'язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами матричним методом
Досить універсальним методом розв'язку лінійних однорідних систем з сталими коефіцієнтами є матричний метод. Він полягає в наступному.Розглядається лінійна система з сталими коефіцієнтами, що записана у векторно-матричному вигляді
.
Робиться невироджене перетворення , де вектор - нова невідома векторна функція. Тоді рівняння прийме вигляд
або .
Для довільної матриці завжди існує неособлива матриця , що приводить її до жорданової форми, тобто , де - жорданова форма матриці . І система диференціальних рівнянь прийме вигляд
.
Складемо характеристичне рівняння матриці
, або .
Алгебраїчне рівняння -го ступеня має коренів. Розглянемо різні випадки.
1. Нехай - дійсні різні числа. Тоді матриця має вигляд
.
І перетворена система диференціальних рівнянь розпадається на - незалежних рівнянь
.
Розв'язуючи кожне окремо, отримаємо
.
Або в матричному вигляді
де .
Звідси розв'язок вихідного рівняння має вигляд . Для знаходження матриці треба розв'язати матричне рівняння
або ,
де - жорданова форма матриці . Якщо матрицю записати у вигляді
,
то для кожного з стовпчиків , матричне рівняння перетвориться до
, .
Таким чином, у випадку різних дійсних власних чисел матриця являє собою набір - власних векторів, що відповідають різним власним числам.
2. Нехай - комплексний корінь. Тоді відповідна клітка Жордана має вигляд
,
а перетворена система диференціальних рівнянь
Неважко перевірити, що розв'язок отриманої системи диференціальних рівнянь має вигляд
Або в матричному вигляді
Таким чином, комплексно-спряженим власним числам відповідає розв'язок де
3. Нехай - кратний корінь, кратності , тобто і йому відповідають лінійно незалежних векторів. Тоді клітка Жордана, що відповідає цьому власному числу, має вид
І перетворена підсистема, що відповідає власному числу , розпадається не дві підсистеми
.
.
Розв'язок першої знаходиться з використанням зазначеного в першому пункті підходу. Розглянемо другу підсистему. Запишемо її в координатному вигляді
Розв'язок останнього рівняння цієї підсистеми має вигляд
.
Підставимо його в передостаннє рівняння. Одержуємо
.
Загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння має вигляд суми загального розв'язку однорідного і частинного розв'язку неоднорідних рівнянь, тобто
.
Загальний розв'язок однорідного має вигляд .
Частинний розв'язок неоднорідного шукаємо методом невизначених коефіцієнтів у вигляді
,
де - невідома стала. Підставивши в неоднорідне рівняння, одержимо
.
Звідси і загальний розв'язок неоднорідного рівняння має вигляд
.
Піднявшись ще на один крок нагору одержимо
.
Продовжуючи процес далі, маємо
.
Або у векторно - матричному вигляді
.
Додавши першу підсистему, одержимо
,
Для останніх двох випадків матриця знаходиться як розв'язок матричного рівняння
.
Loading...

 
 

Цікаве