WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Системи диференціальних рівнянь - Реферат

Системи диференціальних рівнянь - Реферат


Реферат на тему:
Системи диференціальних рівнянь
Загальна теорія
Співвідношення вигляду
називається системою -звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.
Якщо система розв'язана відносно похідних і має вигляд
то вона називається системою в нормальній формі.
Визначення 1. Розв'язком системи диференціальних рівнянь називається набір неперервно диференційованих функцій тотожно задовольняючих кожному з рівнянь системи.
У загальному випадку розв'язок системи залежить від - довільних сталих і має вигляд і задача Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку ставиться в такий спосіб. Потрібно знайти розв'язок, що задовольняє початковим умовам (умовам Коші): .
Визначення 2. Розв'язок називається загальним, якщо за рахунок вибору сталих можна розв'язати довільну задачу Коші.
Для систем звичайних диференціальних рівнянь досить важливим є поняття інтеграла системи. В залежності від гладкості (тобто диференційованості) можна розглядати два визначення інтеграла.
Визначення 3. 1. Функція стала уздовж розв'язків системи, називається інтегралом системи.
2. Функція повна похідна, якої в силу системи тотожно дорівнює нулю, називається інтегралом системи.
Для лінійних рівнянь існує поняття лінійної залежності і незалежності розв'язків. Для нелінійних рівнянь (систем рівнянь) аналогічним поняттям є функціональна незалежність.
Визначення 4. Інтеграли , , , … , називаються функціонально незалежними, якщо не існує функції - змінних такої, що
Теорема. Для того щоб інтеграли
, ,… системи звичайних диференціальних рівнянь були функціонально незалежними, необхідно і достатньо, щоб визначник Якобі був відмінний від тотожного нуля, тобто
Визначення 5. Якщо інтеграл системи диференціальних рівнянь, то рівність називається першим інтегралом.
Визначення 6. Сукупність - функціонально незалежних інтегралів називається загальним інтегралом системи диференціальних рівнянь.
Власне кажучи загальний інтеграл - це загальний розв'язок системи диференціальних рівнянь у неявному вигляді.
Теорема. (існування та єдиності розв'язку задачі Коші). Щоб система диференціальних рівнянь, розв'язаних відносно похідної, мала єдиний розв'язок, що задовольняє умовам Коші: досить, щоб:
1) функції були неперервними по змінним в околі точки ;
2) функції задовольняли умові Ліпшиця по аргументах у тому ж околі.
Зауваження. Умова Ліпшиця можна замінити більш грубою, але умовою, що перевіряється легше, існування обмежених частинних похідних, тобто
1. Геометрична інтерпретація розв'язків
Назвемо -вимірний простір змінних розширеним фазовим простором . Тоді розв'язок визначає в просторі деяку криву, що називається інтегральною кривою. Загальний розв'язок (чи загальний інтеграл) визначає сім'ю інтегральних кривих, що всюди щільно заповнюють деяку область (область існування та єдиності розв'язків). Задача Коші ставиться як виділення із сім'ї інтегральних кривих, окремої кривої, що проходить через заданупочаткову точку
2. Механічна інтерпретація розв'язків
В евклідовому просторі змінних розв'язок визначає закон руху по деякій траєкторії в залежності від часу . При такій інтерпретації функції є складовими швидкості руху, простір зміни перемінних називається фазовим простором, система динамічної, а крива, по якій відбувається рух - фазовою траєкторією. Фазова траєкторія є проекцією інтегральної кривої на фазовий простір.
3. Зведення одного диференціального рівняння вищого порядку до системи рівнянь першого порядку
Нехай маємо диференціальне рівняння
Розглянемо заміну змінних
.
Тоді одержимо систему рівнянь
4. Зведення системи диференціальних рівнянь до одного рівняння вищого порядку
Нехай маємо систему диференціальних рівнянь
і заданий її розв'язок . Якщо цей розв'язок підставити в перше рівняння, то вийде тотожність і її можна диференціювати
Підставивши замість їх значення, одержимо
Знову диференціюємо це рівняння й одержимо
Продовжуючи процес далі, одержимо
Таким чином, маємо систему
Припустимо, що Тоді систему перших - рівнянь
можна розв'язати відносно останніх змінних і одержати
Підставивши одержані вирази в останнє рівняння, запишемо
Або, після перетворень
,
одержимо одне диференціальне рівняння -го порядку.
У загальному випадку, одержимо, що система диференціальних рівнянь першого порядку
зводиться до одного рівняння -го порядку
і системи рівнянь зв'язку
Зауваження. Було зроблене припущення, що . Якщо ця умова не виконана, то можна зводити до рівняння щодо інших змінних, наприклад відносно .
5. Комбінації, що інтегруються
Визначення. Комбінацією, що інтегрується, називається диференціальне рівняння, отримане шляхом перетворень із системи, диференціальних рівнянь, але яке вже можна легко інтегрувати.
.
Одна комбінація, що інтегрується, дає можливість одержати одне кінцеве рівняння
,
яке є першим інтегралом системи.
Геометрично перший інтеграл являє собою -вимірну поверхню в -вимірному просторі, що цілком складається з інтегральних кривих
Якщо знайдено -комбінацій, що інтегруються, то одержуємо перших інтегралів
І, якщо інтеграли незалежні, то хоча б один з визначників . Звідси з системи можна виразити - невідомих функцій через інші і підставивши їх у вихідну систему, понизити порядок до - рівнянь. Якщо і всі інтеграли незалежні, то одержимо загальний інтеграл системи.
Особливо поширеним засобом знаходження комбінацій, що інтегруються, є використання систем у симетричному вигляді.
Систему диференціальних рівнянь, що записана в нормальній формі
можна переписати у вигляді
. .
При такій формі запису всі змінні рівнозначні.
Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді
,
називається системою у симетричному вигляді.
При знаходженні комбінацій, що інтегруються, найбільш часто використовується властивість "пропорційності". А саме, для систем в симетричному вигляді справедлива рівність
.
Loading...

 
 

Цікаве