WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Диференціальні рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної - Реферат

Диференціальні рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної - Реферат


Реферат на тему:
Диференціальні рівняння першого порядку, не розв'язані відносно похідної
Диференціальне рівняння першого порядку, не розв'язане відносно похідної, має такий вигляд
Частинні випадки рівнянь, що інтегруються в квадратурах
Розглянемо ряд диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах.
1) Рівняння вигляду . Нехай алгебраїчне рівняння має по крайній мірі один дійсний корінь . Тоді, інтегруючи , одержимо . Звідси і вираз містить всі розв'язки вихідного диференціального рівняння.
2) Рівняння вигляду . Нехай це рівняння можна записати у параметричному вигляді
Використовуючи співвідношення , одержимо . Проінтегрувавши, запишемо
.
І загальний розв'язок в параметричній формі має вигляд
3) Рівняння вигляду . Нехай це рівняння можна записати у параметричному вигляді
Використовуючи співвідношення , отримаємо і . Проінтегрувавши, запишемо
.
І загальний розв'язок в параметричній формі має вигляд
4) Рівняння Лагранжа
.
Введемо параметр і отримаємо
Продиференціювавши, запишемо
Замінивши одержимо
Звідси
І отримали лінійне неоднорідне диференціальне рівняння
Його розв'язок
І остаточний розв'язок рівняння Лагранжа в параметричній формі запишеться увигляді
5) Рівняння Клеро.
Частинним випадком рівняння Лагранжа, що відповідає є рівняння Клеро
Поклавши , отримаємо . Продиференцюємо Оскільки , то
Скоротивши, одержимо Можливі два випадки.
1. і розв'язок має вигляд
2. і розв'язок має вигляд
.
Загальним розв'язком рівняння Клеро буде сім'я прямих . Цю сім'ю огинає особа крива , .
6) Параметризація загального вигляду. Нехай диференціальне рівняння вдалося записати у вигляді системи рівнянь з двома параметрами
.
Використовуючи співвідношення , одержимо
.
Перегрупувавши члени, одержимо
.
Звідси
.
Або отримали рівняння вигляду
.
Параметризація загального вигляду не дає інтеграл диференціального рівняння. Вона дозволяє звести диференціальне рівняння, не розв'язане відносно похідної, до диференціального рівняння, розв'язаного відносно похідної.
7) Нехай рівняння можна розв'язати відносно і воно має -коренів, тобто його можна записати у вигляді .
Розв'язавши кожне з рівнянь , отримаємо загальних розв'язків (або інтервалів) (або ). І загальний розв'язок вихідного рівняння, не розв'язаного відносно похідної має вигляд
або .
Loading...

 
 

Цікаве