WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків - Реферат

Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків - Реферат


Реферат на тему:
Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків
Рівняння вигляду
називається лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням -го порядку.
Рівняння вигляду
називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням -го порядку.
Якщо при коефіцієнти неперервні, то для рівняння
виконуються умови теореми існування та єдиності і існує єдиний розв'язок , що задовольняє початковим умовам
.
1. Лінійні однорідні рівняння.
1.1. Властивості лінійних однорідних рівнянь
Властивість 1. Лінійність і однорідність зберігаються при довільному перетворенні незалежної змінної .
Дійсно. Після заміни , одержимо
І після підстановки і приведення подібних, одержимо знову лінійне однорідне рівняння
.
Властивість 2. Лінійність і однорідність зберігаються при лінійному перетворенні невідомої функції .
Дійсно. Після заміни , одержимо
І після підстановки одержимо знову лінійне однорідне рівняння
.
1.2. Властивості розв'язків лінійних однорідних рівнянь
Властивість 1. Якщо є розв'язком однорідного лінійного рівняння, то і , де - довільна стала, теж буде розв'язком однорідного лінійного рівняння.
Дійсно. Нехай - розв'язок лінійного однорідного рівняння, тобто
.
Тоді і
оскільки вираз в дужках дорівнює нулю.
Властивість 2. Якщо і є розв'язками лінійного однорідного рівняння, то і теж буде розв'язком лінійного однорідного рівняння.
Дійсно. Нехай і - розв'язки лінійного рівняння, тобто
Тоді і
оскільки обидві дужки дорівнюють нулю.
Властивість 3. Якщо - розв'язки однорідного лінійного рівняння, то і , де - довільні сталі, також буде розв'язком лінійного однорідного рівняння.
Дійсно . Нехай - розв'язки лінійного однорідного рівняння, тобто
, .
Тоді і
оскільки кожна дужка дорівнює нулю.
Властивість 4. Якщо комплексна функція дійсного аргументу є розв'язком лінійного однорідного рівняння, то окремо дійсна частина і уявна будуть також розв'язками цього рівняння.
Дійсно. Нехай є розв'язком лінійного однорідного рівняння, тобто
Розкривши дужки і перегрупувавши члени, одержимо
Комплексний вираз дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли дорівнюють нулю дійсна і уявна частини, тобто
або функції є розв'язками рівняння, що і було потрібно довести.
1.3. Лінійна залежність і незалежність розв'язків. Загальний розв'язок лінійного однорідного рівняння вищого порядку
Визначення. Функції називаються лінійно залежними на відрізку якщо існують не всі рівні нулю сталі такі, що при всіх
Якщо ж тотожність справедлива лише , то функції називаються лінійно незалежними.
Приклад 3.1.1. Функції - лінійно незалежні на будь-якому відрізку , тому що вираз є многочленом ступеню і має не більш, ніж дійсних коренів.
Приклад 3.1.2. Функції , де всі -дійсні різні числа - лінійно незалежні.
Приклад 3.1.3. Функції - лінійно незалежні.
Теорема (необхідна умова лінійної незалежності функцій). Якщо функції - лінійно залежні, то визначник , який називається визначником Вронського, тотожно дорівнює нулю при всіх ,
Доведення. Нехай - лінійно залежні. Тоді існують не всі рівні нулю сталі такі, що при буде тотожно виконуватися:
Продиференціювавши -раз , одержимо
Для кожного фіксованого одержимо лінійну однорідну систему алгебраїчних рівнянь, що має ненульовий розв'язок . А це можливо тоді і тільки тоді, коли визначник системи дорівнює нулю, тобто при всіх .
Теорема ( достатня умова лінійної незалежності розв'язків). Якщо розв'язки лінійного однорідного рівняння - лінійно незалежні, то визначник Вронського не дорівнює нулю в жодній точці .
Доведення. Припустимо, від супротивного, що існує , при якому . Оскільки визначник дорівнює нулю, то існує ненульовий розв'язок лінійної однорідної системи алгебраїчних рівнянь.
Розглянемо лінійну комбінацію з отриманими коефіцієнтами.
У силу третьої властивості ця комбінація буде роз'язком. У силу вибору сталих , розв'язок буде задовольняти умовам
Але цим же умовам, як неважко перевірити простою підстановкою, задовольняє і тотожний нуль, тобто . І в силу теореми існування та єдиності ці два розв'язки співпадають, тобто при , або система функцій лінійно залежна, що суперечить припущенню. Таким чином у жодній точці , що і було потрібно довести .
На підставі попередніх двох теорем сформулюємо необхідні і достатні умови лінійної незалежності розв'язків лінійного однорідного рівняння.
Теорема. Для того щоб розв'язки лінійного однорідного диференціального рівняння були лінійно незалежними, необхідно і достатньо, щоб визначник Вронського не дорівнював нулю в жодній точці , тобто .
Теорема. Загальним розв'язком лінійного однорідного рівняння
є лінійна комбінація - лінійно незалежних розв'язків .
Доведення. Оскільки є розв'язками, то в силу третьої властивості їхня лінійна комбінація також буде розв'язком.
Покажемо, що цей розв'язок загальний, тобто вибором сталих можна розв'язати довільну задачу Коші
Дійсно, оскільки система розв'язків лінійно незалежна, то визначник Вронського відмінний від нуля й алгебраїчна система неоднорідних рівнянь
має єдиний розв'язок . І лінійна комбінація є розв'язком, причому, як видно із системи алгебраїчних рівнянь, буде задовольняти довільно обраним умовам Коші.
Властивість. Максимальне число лінійно незалежних розв'язків дорівнює порядку рівняння.
Це випливає з попередньої теореми, тому що будь-який розв'язок виражається через лінійну комбінацію - лінійно незалежних розв'язків.
Визначення. Будь-які -лінійно незалежних розв'язків лінійного однорідного рівняння -го порядку називаються фундаментальною системоюрозв'язків.
Loading...

 
 

Цікаве