WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Абсолютно неперервні випадкові величини - Реферат

Абсолютно неперервні випадкові величини - Реферат


Реферат на тему:
Абсолютно неперервні випадкові величини.
Функція розподілу випадкової величини - це ймовірність F(x)=P{ (- , + ); в) F(- )=0, F(+ )=1
Для кожної функції F(x), яка має ці властивості можна побудувати ймовірний простір ( , , Р) і випадкову величину ( ) на ньому, яка має функцію розподілу F(x).
Випадкова величина називається абсолютно неперервною, якщо існує невід'ємна функція р(х), яка називається щільністю ймовірності , така що [ 5] .
Майже при всіх х виконується рівність F (x)=p(x). Для щільністі розподілу мають місце рівністі , P{a b}= = F(b)- F(a) (aР{ x x} = p(x) x + 0( x).
Рівномірний розподіл. Випадкова величина має рівномірний розподіл на відрізку [a, b], якщо щільність розподілу дорівнює
p(x)=
0,
Нормальний розподіл N(a, 2). Випадкова величина має нормальний N(a, 2) розподіл, якщо щільність розподілу дорівнює
p(x)= exp , -
Показниковий розподіл. Випадкова величина має показниковий розподіл з параметром , якщо щільність розподілу дорівнює
p(x)=
0,
Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.
Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань.
Функція розподілу випадкового вектора ( 1,…, n) - це ймовірність
F(x1,…,xn)=P{ 1 < x1…, n < xn}.
Незалежні випадкові величини. Випадкові величини 1,…, n незалежні, якщо
P{ 1< x1,…, n< xn}= P{ 1< x1}… P{ n< xn}.
Теорема. Випадкові величини 1, 2,…., n незалежні тоді і тільки тоді, коли
(х1,х2,….,хn)= х1) х2)… хn).
Щільність розподілу випадкового вектора. Якщо функцію розподілу F(x1,…,xn) вектора ( 1,…, n) можна подати у вигляді
F(x1,…,xn)=
то кажуть, що випадковий вектор ( 1,…, n) має щільність розподілу р(x1,…,xn). Щільність розподілу р(x1,…,xn) випадкового вектора ( 1,…, n) є невід`ємна функція і
.
Для неї майже всюди має рівність
Знаючи щільність розподілу випадкового вектора, можна знайти щільність розподілу кожної його компоненти
.
Математичне сподівання випадкової величини. Нехай
( ) - випадкова величина на ймовірному просторі ( , , Р).
Випадкова величина ( ) має математичне сподівання, якщо існує інтеграл
М = ,
де р (х)- щільність розподілу ( ).
Якщо g(x) - однозначна функція і , то
Мg( )= .
Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.
Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань.
Дисперсія випадкової величини.
D = M( -M )2=M 2- (M )2= .
Випадковий вектор ( 1,…, n) має нормальний розподіл, якщо його щільність розподілу дорівнює
де , = M i ,
( i =1,…,n ), - визначник, який складений з елементів матриці коваріацій,
-елементи оберненої до матриці .
Задача 1.В книзі Г.Крамера дана функція розподілу рівних доходів осіб, які обкладаються податком:
Визначити розмір річного доходу, який для випадково вибраного платника податку може бути перевершеним з ймовірністю 0,5.
Розв'язування. Р{ x}= 0,5, за умовою задачі.
Р{ x}=1 - Р{ (х0 х) = 1 2, х0 х=(1/2)1/ ,
х0 = (1/2)1/ х, х=2 х0
Задача 2 .Нехай - випадкова величина з неперервною функцією розподілу F(x) і = F( ). Обчислити функцію розподілу .
Розв'язування. Нехай Тоді При (так як F(x) - функція розподілу), при Отже, має рівномір-ний розподіл на [0,1).
Задача 3.Нехай рівномірно розподілена на [0, 1] випадкова величина. Знайти функцію розподілу випадкової величини = 1 ln(1- ). (Відповідь: показниковий розподіл з параметром ).
Задача 4. Нехай випадкова величина має нормальний розподіл N(а, 2). Показати, що .
Задача 5.Випадкова величина має нормальний розподіл N(0, 2). При якому ймовірність попадання в інтервал (а,b) буде максимальною?
Розв'язування.
.
Задача 6.Нехай має показниковий розподіл з параметром . Обчислити а) М ; б) D ; в) Р{ 1}.( Вказівка. , ).
Задача 7.Нехай випадкова величина, яка має показниковий розподіл з параметром . Знайти розподіл випадкової величини = [ ]. Обчислити М .
( Відповідь.Геометричний розподіл з параметром р=1- е- ).
Задача 8 а) Знайти М| |, якщо випадкова величина розподілена нормально з параметрами (0, 2).б) Нехай нормально розподілена з параметрами (а, 2). Обчислити М| -а|. Відповідь .
Задача 9 . Нехай випадкова величина, яка рівномірно розподілена на проміжку [-a, a]. Обчислити: а) М ; б) D ; в) Р{ | | > a/2 }
Задача 10. Щільність випадкової величини має вигляд р(х)=Ае-х при х 0 й р(х)=0 при х<0. Знайти коефіцієнт А. Обчислити дисперсію .
Задача11. Випадкова величина рівномірно розподілена на проміжку , , а та додатні постійні. Знайти математичне сподівання та дисперсію . ( М = 0 ; D = а2 2 )
Задача12. Випадкова величина має щільність Знайти математичне сподівання та дисперсію. Відповідь М =0, .
Задача13. Нехай випадкова величина задана наступним чином:.
Знайти а) коефіцієнт А й функцію розподілу; б) математичне сподівання та дисперсію . (А=1/2, F(x)=1/2 (sin x -1) при - /20. ( довільне число, додатнє). Знайти М та D . (Відповідь , ). ).
Задача 17 . Нормальний розподіл з щільністю зрізано значенням х=b, а значення менше b відкинуті. Знайти математичне сподівання та дисперсію цього розподілу.
(відповідь: Щільність зрізаного розподілу
54
Задача 18. Нехай випадковий вектор (? , ? ) має нормальний розподіл
N(а ,а , ? , ? , ?) на площині. Показати, що кожна з величин ? і ? має відповідно нормальний розподіл N(а , ? ) і N(а , ? ).
Розв'язування. Випадковийо вектор ( 1, 2)має нормальний розподілN ( , , , ) на площині, якщо його щільність
(х,у)= ехр {- [ - 2 + ] }. При цьому , = , ,
.
Зробимо заміну змінних
, v
та врахуємо, що .
55
Одержимо
або .
Задача19. Випадкові величини незалежні і мають нормальні розподіли ), ). Довести, що випадкова величина має
нормальний розподіл ). (Скористатись формулою
= ,
де -щільності випадкової величини , і=1,2.).
Задача 20. Випадковий вектор ( ) з невід'ємними компонентами має функцію розподілу
F(х,у)=1- .
Знайти математичне сподівання та матрицю коваріацій цього вектора. Залежні чи незалежні його компоненти? ( Відповідь. Випадкові величини та незалежні. M = , M = , D = , D = ).
Задача21. Випадкова величина рівномірно розподілена на інтервалі (-1 ,1), = m (m-ціле додатнє число). Знайти коефіцієнт кореляції та . Розлянути випадки парного та непарного n.
Задача 22. Випадковий вектор ( , ) має щільність р(х,у)= .
Знайти коефіцієнт . Знайти одновимірні щільності випадкових величин та . Установити, залежні чи ні випадкові величини та .
Loading...

 
 

Цікаве