WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Стохастичний експеримент. Простір елементарних подій. Випадкові події та операції над ними - Реферат

Стохастичний експеримент. Простір елементарних подій. Випадкові події та операції над ними - Реферат


Реферат на тему:
Стохастичний експеримент. Простір елементарних подій. Випадкові події та операції над ними
Вихідним поняттям теорії ймовірностей є поняття стохастичного експерименту, випадкової події та ймовірності випадкової події. Стохастичними називають експерименти, які можна повторити будь яку кількість раз, але результати яких не можна напевне передбачити. В основі теоретико-множинного методу викладу теорії ймовірностей лежить припущення, що кожному стохастичному експерименту поставлено у відповідність деяка множина , точки якої зображають всі можливі наслідки даного експерименту. Множину називають простором елементарних подій, а його точки - елементарними подіями. Таким чином, простір елементарних подій це сукупність всіх можливих наслідків стохастичного експерименту.
Приклад1. Припустимо, що монету підкидають один раз. Простір елементарних подій , цього експерименту має вигляд ={Г, Р}, де Г означає появу герба, буква Р-появу решки.
Приклад2. Монету підкидають двічі. Простором елементарних подій цього експерименту є множина ={ГГ, ГР, РГ, РР}. Тут ГР означає, наприклад, що при першому підкиданні з'явився герб, а при другому- решка.
Приклад 3. Підкидають шестиграний гральний кубик на якому вибиті очки від 1 до 6. Нас цікавить число очок, яке випало. Простіром елементарних подій тут може бути множина, яка складається з чисел 1,2,3,4,5,6, тобто ={ 1,2,3,4,5,6}.
В прикладах розглянутих вище простір елементарних подій був скінченною множиною. Але в багатьох задачах теорії ймовірностей експерименти мають нескінченне число можливих наслідків.
Приклад 4. Будемо вважати, що монету підкидають до першої появи герба. Простором елементарних подій такого експерименту є множина
= { 1, 2 , … , n , … }, де n = РРРРР…РГ означає, що герб вперше
n-1 раз
з'явиться при n-тому підкиданні монети, а відповідає тій можливості, що герб ніколи не з'явиться (в цьому випадку наш експеримент продовжується нескінчено довго , -зліченна множина).
Неважко уявити собі задачу, де множина всіх наслідків стохастичного експерименту незліченна.
Приклад 5 . Нехай експеримент полягає у вимірюванні двох величин, які набувають значення з відрізка [ 0, 1] . Простір елементарних подій = { (x,y): 0 } має континуум наслідків, так як результатом може виступити довільна точка відрізку [ 0, 1].
ВИПАДКОВІ ПОДІЇ ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ
Будь-яка підмножина А простору елементарни подій ( А ) називається випадковою подією. При цьому - достовірна подія, тобто подія, яка відбувається при будь- якому наслідку стохастичного експерименту.
Говорять, що подія А наступила, якщо наступила, яка небудь з елемен-тарних подій А.
Приклад1. Припустимо, що один раз підкидають гральний кубик і
А подія, яка полягає в тому, що число очок, яке з'явиться, ділиться на 3. Тоді
={1, 2, 3, 4, 5, 6}, А={3, 6}.
Приклад 2. Припустимо, що монету підкидають до першої появи герба. Нехай А подія, яка полягає в тому, що буде зроблено не більше трьох підкидань. Тоді А={Г, РГ, РРГ}, ={Г, РГ, РРГ,РРРГ, РРРРГ, …,РРРРР…РГ , ……}.
n-1 раз
Таким чином, випадкові події пов'язані з даним стохастичним експериментом підмножини в просторі елементарних подій .
Сумою двох подій А та В називається подія А+ В ( А В), яка складається з елементарних подій , які належать хоча б одній із подій А або В.
Добутком АВ (А В) називається подія, яка складається з елементарних подій які належать одночасно і А і В.
Різниця подій А та В відповідає множині А-В ( АВ), яка складається з тих елементів А, які не належать В. = А називається доповненням до події А. Правило де Моргана .
Відзначимо, що основні поняття теорії множин можна також подати мовою теорії ймовірностей.
Сума (об'єднання) є подія, яка наступає тоді і тільки тоді, коли наступає одна з подій .
Добуток (або перетин) називається подія, яка полягає в тому, що відбуваються всі події Аі, і=1, 2, 3,…. , або всі події Аі, і=1, 2, 3,…., n.
Задача1. Монету підкидають двічі. Описати простір елементарних подій. Описати події : А={ принаймі один раз з'явиться герб }, подія В={ при другому підкиданні з'явиться герб }.
Задача2. Гральний кубик підкидають двічі. Описати простір елементарних подій. Описати події : А={ сума очок які з'явились дорівнює 8 }, подія
В={ принаймі один раз з'явиться 6 }.
Задача3. З партії, що містить N виробів, серед яких є n бракованих, взято m виробів. Описати простір елементарних подій. Описати подію А: серед взятих виробів l- бракованих (nРозв'язування.Простір елементарних подій складається з усіх можливих партій, що містять m виробів, l (число таких партій ), А складається з тих партій m виробів, серед яких є рівно l бракованих (число таких партій ).
Задача4. Побудувати множину елементарних подій в експерименті, що полягає в виборі з урни, яка містить m білих та n чорних куль, k куль, де kЗадача5. В коробці шість однакових, занумерованих кубиків. Навмання по одному вилучають всі кубики. Скільки елементарних подій містить простір ? Описати подію А={номери вилучених кубиків з'являться в зростаючому порядку}.
Задача 6. Три раза підкидають монету. а) Описати простір елементарних подій;
б) описати події:А={двічі випав герб}, В={ принаймі один раз випав герб}.
Задача 7.Серед усіх родин з двома дітьми обрано одну. Описати простір елементарних подій і випадкові події : А={ в родині є хлопчик і дівчинка},
B={ в родині не більше однієї дівчинки}.
Задача 8. З таблиці випадкових чисел навмання вибрані два числа. Події А та В відповідно означають, що вибрано хоча б одне просте та хоча б одне парне число. Що означають події А В та А В ?
Розв'язування. Подія А В означає появу подій А та В, тобто з двох вибраних чисел одне просте, а друге парне. Подія А В означає появу хоча б однієї з подій А чи В, тобто серед двох вибраних чисел є хоча б одне просте або хоча б одне парне число, або одне з цих чисел просте, друге парне.
Задача 9. Із множини подружніх пар навмання вибирається одна пара. Подія А={ чоловіку більше 30 років }, подія В={ чоловік старший за жінку }, подія С={ жінці більше 30 років }. З'ясувати зміст подій А В С, А(В А), А С.
Розв'язування. А В С { подружжю за 30 років, причому чоловік старший за жінку };
А(В А) =( А але не В А) { чоловіку за 30 років, але він не старший за жінку };
А С { подружжю за 30 років, причому чоловік не старший за жінку };
Задача 10. Подія А - хоча б один з трьох приборів які перевіряються бракований. Всі прибори доброякісні. Що означають події: А В, А В?
Задача 11. Із таблиці випадкових чисел навмання взяте одне число. Подія А вибране число ділиться на 5; подія В- данечисло закінчується нулем. Що означають події А В та А
Задача 12. Підкидають два гральних кубики. Нехай подія А={сума очок непарна}, подія В={хоча б на одному кубику випала одиниця}. Описати події А В, А В, А .
Задача 13. Зроблено 3 постріли по мишені. Нехай Аі подія, яка полягає в тому, що при і-тому пострілі є влучення (і=1,2,3). Виразити через події Аі такі
події: а) А відбулось три влучення; б) В не було жодного влучення; в) лише одне влучення; г) не менше двох влучень.
Задача 14. М ішень складається з 1О кругів, які обмежені концентричними колами з радіусами rк (k=1,2,…,10), причому r 1 r2 … r10. Подія А к-попадання в круг радіуса rк (k=1,2,…,10). Що означають події В= , С= ?
Задача 15. Нехай А1,А2,…,Аn- випадкові події. Довести, що Р( .
Loading...

 
 

Цікаве