WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Принцип максимума і оптимальне керування динамічною системою В. Леонтьєва - Реферат

Принцип максимума і оптимальне керування динамічною системою В. Леонтьєва - Реферат


Реферат на тему:
Принцип максимума і оптимальне керування динамічною системою В. Леонтьєва
Pозглядається відкрита динамічна система ( модель) В. Леонтьєва стан якої в кожен момент часу t визначається n- вимірним вектором
х(t)= (x1(t),x2(t),…,xn(t)), який характеризує валовий випуск економіки з n галузями. Збалансована система динамічних рівняннь "витрат-випуску"
В. Леонтьєва має вигляд
x - A ? - [ d ? ( t) / d t ) ] = ? ( t ), (1 )
де x = ( x 1, x2,...., x n ) - означає вектор валового випуску економіки з n галузями , A=I - А- матриця Леонтьєва, А=( a ij )- n n -матриця, яка описує структуру міжгалузевих зв'язків; =( bij )- n n - матриця яка характеризує структуру основного капіталу, основних фондів; y (t)- вектор кінцевого попиту ( вектор споживання) [1].
Динамічна модель витрат- випуску (1) може бути представлена як система керування [2]
= Аx (t) +В u ( t ) , ( 2 )
?? А= A , B= - - ?????????? ???????, u(t)- функція керу-вання.Задача оптимального керування динамічною системою В. Леонтьєва полягає в тому, щоб на даному скінченному проміжку часу ( ) знайти такий вектор керування u(t) із Rn при якому система ( 2 ) переходить із заданого початкового стану x(t0)=x0 в заданий кінцевий (запланований) стан x(t1)=x1 за час Т=t1-t0. При цьому випуклий функціонал - інтеграл достатку
( 3)
досягає свого максимального значення. Необхідно відмітити, що в функціоналі ( 3 ) є множник дисконтинування, який свідчить про те, що негайне споживання важливіше ніж в майбутньому, W(u(t))- функція корисності [ 3 ].
Таким чином, керована динамічна система В. Леонтьєва дозволяє дати прогноз розвитку всіх галузей економіки так, щоб за певний період часу досягти заданого рівня їх росту.
Покладемо
( 4 )
і розглянемо розв'язок в вимірному просторі для кожного керування u(t). Нехай К - сукупність кінцевих точок траекторії в вимірному просторі, які відповідають довільним допустимим керуванням u(t), t є (t0, t1). Якщо система керована, то множина К випукла та замкнута [4]. При цьому необхідно врахувати природні обмеження: споживання невідємне і змінюється в межах від до , де -деякі задані додатні числа.
Розглянемо керовану автономну систему в загального вигляду
, ( 5 )
i=1,…,n.
або у векторній формі , де y(t)={y1(t),y2(t),…,yn(t)}-вектор координат стану, u(t)={u1(t),u2(t),…,un(t)}-вектор керування, вектор початкових умов.
Якщо вести заміну змінних вектора стану системи ( 2 ) де нові змінні, при цьому i=1,…,n,то вона набуває вигляду (5) з правими частинами
. ( 6 )
Зазначимо, що система ( 1 ), а також (2) має додатній зростаючий розв'язок, якщо функція керування u(t) змінюється вмежах від до таким чином , що для довільних t , де При цьому споживання у(t)=u(t) невід'ємне і не перевищує випуск.
Розглянемо функціонал
( 7 )
де - множники Лагранжа, які визначаються граничними умовами на правому кінці фазової траекторії.
Нехай -допоміжні змінні що задовільняють систему рівняннь
i=1,2,…,n+1, ( 8 )
та граничним умовам
, і=1, 2,…, n+1, ( 9 )
де .
Для оптимального керування u(t), оптимального вектора стану y(t), який описується системою (5) з правими частинами (6) функціонал має мінімальне значення , а функція Гамільтона- Понтрягіна досягає максимуму по відношенню до свого керування на всьому проміжку часу
Функція Гамільтона- Понтрягіна має вигляд
( 10)
Пряму та спряжену систему можна записати як
, . (11 )
Оптимальне керування знаходиться з умови
, якщо де W(u) квадратична функція корисності , матриця Р від'ємно визначена, вектор додатній, а к 1- деякий коофіцієнт пропорційності .
Функції та задовільняють рівнянням , ,i=1,2,…n,
( 12 )
з граничними умовами:
Необхідно відмітити, що, іноді, для розв'язку поставленної задачі, більш зручною може бути заміна , і=1,…, n.
Для визначення оптимального керування небхідно розв'язати двохточкову крайову задачу , тобто треба знайти таким чином, щоб основна змінна за час T =t1 -t0 перейшла з стану y(t0)=y0 в стан y(t1)=y1 в силу рівняннь (12 ).
Література
1. В. Леонтьев " Исследование структуры американской економики. Теоретический и эмпирический анализ по схеме затраты- выпуск", Москва. Госстатиздат, 1938.
2. А. В. Виноградська, В.В. Рішина " Керування спектром динамічнї системи витрат- випуску моделі В. Леонтьєва" . Вісник Київського університету, №2, 1999.
3 О. І. Пономаренко, М. О. Перестюк, В.М. Бурим " Основи математичної економіки", Київ. " Інформтехніка" , 1995.
4. .Э. Б. Ли, Л. Маркус." Основы теории оптимального управления", Москва. "Наука", 1972.
Loading...

 
 

Цікаве