WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Загальні питання наближення функцій - Реферат

Загальні питання наближення функцій - Реферат

використовують інформацію про відомі значення.
2. Як випливає з розглянутої постановки задачі, найчастіше наближуючими функціями обирають поліноми (алгебраїчні, тригонометричні, експоненційні), рідше їх відношення. Вигляд наближуючої функції істотно залежить від мети наближень. Припустимо, що деяку функцію можна з потрібною точністю наблизити або степеневим поліномом шостого степеня або тригонометричним виразом. Перша форма зручніша для багатократних обчислень на ЕОМ, а друга - для реалізації на моделюючих пристроях або для теоретичних досліджень.
3. Вибір близькості функцій u i v в першу чергу визначається фізичним змістом задачі і лише потім - математичними міркуваннями.
4. Кількісна оцінка точності одержаного наближення до точного розв'язку часто є непростою задачею. Міри точності відповіді залежать від конкретних ситуацій:
- Чи існує не груба і досить проста для практичного використання теоретична оцінка точності ?
- Чи повинен алгоритм давати розв'язок модельної задачі з необхідною кількістю точних знаків ?
- Якою є нев'язка математичного співвідношення після підстановки в нього апроксимуючоі величини замість істинної ?
Таким чином, ми бачимо, що відповіді на ці питання можуть значною мірою впливати на результати, одержані в процесі обчислень.
Досить поширеним на практиці є відоме з курсу аналізу наближення функціІ поліномом Тейлора n-гостепеня, яке для u(x) Cn+1[a,b] має вигляд:
Pn(x)= .
В точці x0 це наближення має ту властивість, що всі його похідні до порядку n включно співпадають з відповідними похідними функції u, тобто поліном Тейлора досить добре апроксимує u(x) в околі точки x0. Похибку наближення визначає залишковий член формули Тейлора
u(x) - Pn (x)= , (2)
де x [a,b], x* лежить строго між х і х0 .
З припущення, що u(n+1) C[a,b], випливає, що . Тоді з (2) маємо
,
, (3)
де l = max ( x-a, b-x ).
Неважко бачити, що похибка наближення функції поліномом Тейлора різко зростає біля кінців відрізку [a,b]. Принаймі це так, якщо u(n+1)(x)=const 0, тобто u(x) - поліном степеня n+1. Тоді u(n+)(x) =Mn+1 і (3) перетворюється в рівність. Крім розкладу функції u(x) за системою функцій 1, (x-x), (x-x )2, ... , функціями v (x) можна обирати спеціальні функції, такі як поліноми Чебишова, Лежандра, Лагерра, функції Бесселя та інші.
При поверхневому розгляді може здатись, що ці розклади неефективні внаслідок труднощів обчислення самих спеціальних функцій. Але відомо, що більшість сімейств спеціальних функцій f (x) задовольняють рекурентному співвідношенню вигляду
fk+1(x) = A(k,x) fk (x) + B(k) fk-1 (x), k=1,2,..,
де коефіцієнти А, В заздалегідь визначені.
Якщо спеціальні функції - поліноми, то, знаючи f0 i f1 , поліноми більш високих степенів обчислити не важче, ніж складові степеневого ряду. Так, наприклад, система поліномів Лежандра, ортогональна на [-1,1], визначається співвідношенням
ЗАУВАЖЕННЯ.
1. Наближуючи функції узагальненими поліномами, часто цими поліномами обирають степеневі поліноми 1, x, x2, ... . Система {xi} є повною в C [0,1] і не лише повною, але й переповненою. Так, з усіх цих функцій можна залишити лише ті, для яких показник - просте число або нуль, і одержана система залишиться повною. Використання переповнених систем в чисельному аналізі небажане, а на думку багатьох авторитетів у цій галузі і неприпустиме. Тому від системи {xi} необхідно переходити до систем ортогональних поліномів.
2. Задача обчислення значення полінома Pn(x)= для конкретного значення х реалізується схемою Горнера. Записуючи Pn(x) у вигляді Pn(x)= бачимо, що обчислення можна вести за формулою Aj+1=Ajx+ j, j=0,1,...n; A0=0. В підсумку одержуємо An+1=Pn(x).
Схема Горнера є оптимальною в тому відношенні, що потребує мінімально можливого числа множень.
Схему Горнера можна застосовувати і для обчислення значень сум вигляду:
Sn(x)= ,
де функції {fk(x)} і f-1(x) задовольняють тричленному рекурентному співідношенню
fk+1(x)+ak(x)fk(x)+bk(x)fk-1(x)=0, k=0,1,..,n
Схема обчислення значення Sn(x) є безпосереднім узагальненням схеми Горнера: будуємо послідовність
Aj= - aj Aj+1 - bj Aj+2, j=n, n-1,..,0: An+1=An+2=0
і одержуємо Sn(x)=A0 f0(x).
ВПРАВИ.
1. Довести, що в лінійному нормованому просторі:
а) множина елементів найкращого наближення опукла;
б) якщо простір строго нормований, то елемент найкращого наближення єдиний.
2. Нехай - простір послідовностей дійсних чисел, які прямують до нуля; , якщо де при . Побудувати в замкнений підпростір , що має таку властивість: для будь-якого в підпросторі не існує елементу найкращого наближення.
3. Нехай - система Чебишова і - невироджене лінійне перетворення. Довести, що система функцій , де також є чебишовською.
4. Чи є система функцій чебишовською на ?
5. Довести, що простір є нормованим.
6. Довести, що простір не є строго нормованим.
7. Чи є простір строго нормованим?
8. Довести, що сукупність функцій де - поліном, утворює систему Чебишова на будь-якому відрізку, на якому не має нулів.
9. Довести, що функції утворюють систему Чебишова при якщо
10. Чи є система системою Чебишова ?
11. Побудувати алгоритм реалізації схеми Горнера для обчислення значення на паралельно працюючих процесорах.
12. Нехай коефіцієнти полінома дійсні, а - комплексне. Побудувати схему обчислення , що потребує множення і додавання.
Loading...

 
 

Цікаве