WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Загальні питання наближення функцій - Реферат

Загальні питання наближення функцій - Реферат


Реферат на тему:
Загальні питання наближення функцій
Теорія наближень є фундаментом багатьох чисельних методів. Ефективність чисельного алгоритму може у великій мірі залежати від способу наближення шуканого розв'язку. Теорія наближень оформилась у змістовну теорію в ХХ сторріччі, хоча перші результати її були одержані П.Л.Чебишовим в 1853 і 1857 роках, а знамениту теорему Вейєрштрасса доведено в 1885 році.
Основні проблеми обчислювальної математики пов'язані з реалізацією математичних моделей в умовах обмеженої вхідної інформації, коли все, що ми маємо або можемо обчислити - це деякі точки, в яких відомі значення функцїі, причому здебільшого наближено внаслідок похибок різного походження.
Класичний підхід в теорїі наближень полягає у використанні наявної інформації для одержання наближуючої функції, оперувати з якою досить легко. Більша частина класичного чисельного аналізу будується на наближенні поліномами, хоча не для всіх задач це є вигідним.
Визначивши клас наближуючих функцій, треба вибрати з нього одну певну функцію за допомогою деякого критерію. Одним з найпоширеніших є критерій співпадання наближуваної та наближуючої функцій в певних точках. Більш загальний критерій - вимога мінімізації відстані між цими функціями як елементами відповідних функціональних просторів.
Нехай u - заданий елемент нормованого лінійного простору U, а V підпростір в U , що складається з елементів вигляду
v= i vi , (1)
де vi - фіксовані лінійно незалежні елементи з V, i - числа.
В залежності від того, належить u простору V, чи ні, виникає дві задачі:
1. u V. Треба визначити коефіцієнти i розкладу u за функціями vi : u= i vi .
2. u V. Для u відшукується наближення вигляду (1), коефіцієнти якого визначаються з умови мінімізації відстані
До 1-го випадку належать різноманітні розвинення функцій в ряди (степеневий, тригонометричний, експоненційний, тощо). Hелінійною задачою такого типу є задача визначення сталих у формулі Крістоффеля-Шварца при конформному відображенні кругової області на многокутник.
До 1-го і 2-го випадків відносяться інтерполяція та апроксимація в різних функціональних просторах.
Припустимо, що в точках xj ( j= ) відомі значення функції uj. Треба відшукати функцію v вигляду (1), яка в даних точках xj найменшим чином відхиляється від значень uj , тобто величини
= uj - i vi , j=
повинні бути мінімальними. Задача полягає у визначенні i.
1. n=m. Якщо det(vk(xj)) 0, то можна одержати =0, визначивши з цієї умови шляхом розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь (ЛАР). Кажуть, що у цьому випадку вираз v= i vi інтерполює функцію u .
Для того, щоб det(vk(xj)) не дорівнював нулю для обраної системи функцій vk(x) і будь-якого набору вузлів xj ( при ) необхідно і достатньо, щоб система функцій була системою Чебишова.
Означення. Система функцій v1(x), v2(x),...,vn(x) називається системою Чебишова на [а,b], якщо будь-який узагальнений поліном i vi (x), у якого хоча б один з коефіцієнтів відмінний від нуля, має на [a,b] не більше n нулів.
2. nu(x) v(x) = i vi (x).
Функції vk задано, а сталі визначаються з умови мінімальності відстані .
Міра відстані визначається простором, в якому розглядається наближення.
Числова множина (u,v)= . при фіксованій функції u обмежена знизу числом 0, тому існує (u)= .
Елемент v0 , для якого має місце рівність (u)= називається елементом найкращого наближення для u в просторі V або проєкцією u на V.
Теорема. Для будь-якого елементу u лінійного нормованого простору U, в V існує елемент найкращого наближення. Якщо простір U, строго нормований, то цей елемент єдиний
Ми будемо розглядати найкращі наближення в гільбертовому просторі ( середньоквадратичне ), де
= ( dx)1/2
(B - область, в якій задано u та v ), а також в просторі C (рівномірне або чебишовське наближення), де
= .
Замість лінійної апроксимації (1) можна використовувати також раціональну апроксимацію, де
u(x) v(x)= .
Внаслідок того, що раціональний вираз легко програмується, така апроксимація використовується для наближення складних функцій, таких, як, наприклад, функції Бесселя.
Нерідко трапляються випадки, коли раціональна апроксимація з заданим cтепенем точності потребує менше коефіцієнтів, ніж лінійна. Раціональна апроксимація є частинним випадком нелінійної апроксимації функції u(x) виразом вигляду
F(x, )=F(x, 1, 2,..., n),
де F - задана функція, залежна від параметрів j, при цьому j визначаються з умови
=min.
Отже, приступаючи до задачі наближення функції, треба знайти відповіді на такі питання:
1. Якою наявною інформацією ми володіємо?
2. Який клас наближуючих функцій використати?
3. Якою мірою оцінити близькість функцій u та v ?
4. Яка точність потрібна ?
Обговоримо коротко ці питання.
1. На практиці наявна інформація про функцію часто задається зовнішніми обставинами, наприклад, коли в незалежні від дослідника моменти часу t1, t2, ... , tm спостерігаються значення функції u(t), і потрібно відновити її значення при інших t.
В інших ситуаціях є можливість вибору вхідної інформації. Наприклад, якщо є необхідність багато разів обчислити деяку складну функцію в різних точках, то може бути доцільним обчислити її в декількох заздалегідь визначених точках, а в інших точках обчислювати за деякими простими формулами, що
Loading...

 
 

Цікаве