WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Різницеві інтерполяційні формули - Реферат

Різницеві інтерполяційні формули - Реферат


Реферат на тему:
Різницеві інтерполяційні формули
Як побачимо далі, ІП можна розглядати як узагальнення відрізку ряду Тейлора.
Узагальненням поняття похідної є поняття розділеної різниці (PP). Нехай у вузлах відомі значення функції . Припустимо також, що при . Тоді РР нульового порядку співпадають зі значеннями функції , РР 1- го порядку визначаються рівністю
РР 2- го порядку:
і взагалі РР k-го порядку визначаються через різниці ( -1)-го порядку за формулою
Лема.Справедлива рівність
. (1)
Безпосередньо з (1) випливає ряд наслідків.
1. При фіксованих РР є лінійним функціоналом від функції :
2. РР є симетричною функцією своїх аргументів , тобто не змінюється при їх перестановці.
Якщо функцію задано в точках , то таблицю
називають таблицею розділених різниць.
За допомогою РР можна одержати іншу форму запису ІП Лагранжа:
.
Порівнюючи з твердженням леми, впевнюємось, що вираз в дужках дорівнює . Таким чином, можна написати
, (2)
де визначено нами раніше.
Нехай - ІП Лагранжа з вузлами інтерполяції . Поліном Лагранжа можна подати у вигляді
= +( - )+...+( - ). (3)
Різниця - - поліном степеня , який обертається в нуль в точках , оскільки при . Отже,
- = .
Покладаючи , одержуємо
.
З іншого боку, беручи в (2) і , маємо
.
Таким чином, , тому
.
Підставляючи це в (3), одержимо
.
Таке представлення ІП називається формулою Ньютона з розділеними різницями. З порівняння ІП Ньютона і Лагранжа випливає важлива рівність
. (4)
Зокрема, якщо - поліном степеня , то на підставі (4) маємо
при будь-яких .
Якщо , то внаслідок (4) маємо
.
Тому величина може використовуватись як наближена оцінка для величини .
Використання одержаних нами інтерполяційних формул для безпосереднього обчислення наближених значень інтерпольованої функції не є ефективним. Значно краще для цього використовувати схему Ейткена. Нехай - ІП з вузлами , зокрема, . Справедлива рівність
. (5)
Дійсно, права частина - це поліном степеня , який співпадає з в точках . Схема Ейткена обчислення значення полягає в послідовному обчисленні за допомогою (5) елементів таблиці значень ІП.
Цю схему покладено в основу стандартної програми розв'язку такої задачі: Дано таблицю значень деякоІ функції на , потрібно при будь-якому значенні обчислити значення з заданою точністю або з найкращою можливою точністю при наявній інформації,
Побудова алгоритму, яку ми зараз розглянемо, є досить типовою для ситуації, що виникає на практиці. Неможливо запропонувати обгрунтований алгоритм розв'язку поставленої задачі для всіх функцій, якщо про функцію нічого не відомо, крім її значень в заданих точках. Але, припускаючи, що функція є досить гладкою, одержуємо практичний критерій оцінки похибки і, грунтуючись на ньому, будуємо алгоритм розв'язку задачі.
Нехай фіксовано; перенумеруємо вузли інтерполяції в порядку зростання . ІП будемо позначати як .
Раніше ми одержали вираз для похибки (2)
,
а також рівність . Якщо малі, то .Враховуючи це, маємо . З цього випливає, щовеличину можна розглядати як наближену оцінку похибки інтерполяційної формули . Отже, можна послідовно обчислювати значення ..., якщо при деякому буде , то обчислення можна припинити і покласти . Якщо ця нерівність не виконується ні при якому , то треба знайти і покласти . Якщо величини , починаючи з деякого , мають стійку тенденцію до збільшення, то обчислення значень , припиняються.
Розглянемо тепер дещо узагальнену задачу інтерполювання. Якщо у вузлах інтерполяції відомі не лише значення шуканої функції, а й її похідних до деякого порядку, то було б нерозумним не скористатися цією додатковою інформацією.
Нехай треба побудувати поліном степеня , що задовольняє умовам:
. . . . . . . (6)
,
де всі різні, . Такий поліном називають ІП з кратними вузлами, а числа - кратностями вузлів відповідно.
ІП визначається єдиним чином. Справді, припустимо що існує два полінома степеня , що задавольняють умовам (6). Тоді їх різниця задoвoльняє cпіввідношенням
,
точки є нулями полінома кратності . Цих нулів загалом +1.
Далі будемо припускати, що функція неперервно диференційовна +1 раз. Існування ІП , що задовольняє умовам (6), доведемо, одержавши для нього явний вираз. Визначимо послідовність сукупностей точок що задовольняють таким умовам: при всі точки різні, при . Зокрема, можна покласти .
Побудуємо ІП степеня , що співпадає з в точках . Таблиця РР, відповідних цьому набору вузлів, має вигляд:
Запишемо ІП Ньютона з розділеними різницями:
де
Виражаючи РР через похідні, маємо
Таким чином, всі елементи таблиці мають границі, при . Ми позначатимемо через , отже, .
Якщо всі елементи таблиці мають границі, то на будь-якому відрізку поліноми при прямують до деякого поліному
,
.
Поліном
записується у вигляді
.
Звідси випливає, що він задовольняє умовам, заданим в точці . Внаслідок єдиності ІП поліном не зміниться, якщо переозначити . Тому граничний поліном буде задовольняти заданим умовам в будь-якій точці . Отже, цей поліном є шуканим.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
1. Довести рівність
.
При доведенні можна викристати метод математичної індукції.
2. Довести, що при фіксованих PР є лінійним функціоналом від функції .
3. Довести, що РР -го порядку від алгебраїчного полінома -го степеня прийиає постійне значення, що не залежить від набору вузлів , РР більш високих порядків дорівнюють нулю.
4. Дать порівняльну характеристику ІП Лагранжа та Ньютона.
5. Нехай на , звідки беруться та вузли інтерполювання, функція має похідну , яка зберігає свій знак. Показати, що в цьому разі є монотонною функцією аргумента на .
6. Показати, що -а РР полінома -го степеня дорівнює коефіцієнту при незалежно від вибору вузлів .
7. Показати, що якщо , то .
8. Показати, що якщо аргументи помножити на одну і ту ж сталу , а значення функції залишити незмінними, то РР помножаться на .
Loading...

 
 

Цікаве