WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Операції псевдообернення та проектування - Реферат

Операції псевдообернення та проектування - Реферат


Реферат на тему:
Операції псевдообернення та проектування
В даному розділі даються основні поняття з класичної лінійної алгебри. Буде дано одне з кількох визначень псевдооберненої матриці, через яку знаходиться загальний розв'язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Також будуть наведені деякі методи обчислення псевдообернених прямокутних матриць [1].
1.1. Псевдообернені оператори
Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь
, (1.1)
де , вектор розмірності . Систему (1.1) можна ще представити у векторному вигляді
, . (1.2)
Тут введені наступні позначення
.
При розв'язанні системи алгебраїчних рівнянь можливі наступні варіанти розв'язків.
1 Існує єдиний розв'язок системи (1.1), тобто існує єдиний вектор , який задовольняє систему векторних рівнянь (1.2) (мал. 1.1).
Мал. 1.1
2 Існує множина розв'язків системи (1.1) (мал. 1.2).
Мал. 1.2
Тобто існує множина векторів , які задовольняють систему (1.1).
3 Розв'язку системи (1.1) не існує, але можна вказати єдиний вектор , який буде знаходитись на найближчій відстані до всіх гіперплощин системи (1.1) (мал. 1.3).
Мал. 1.3
4 Розв'язку системи (1.1) не існує, але можна вказати множину векторів , які будуть знаходитись на найближчій відстані до всіх гіперплощин системи (1.1) (мал. 1.4).
Мал. 1.4
Для матриці розмірності в полі дійсних чисел псевдо-обернена матриця розмірності визначається наступним чином.
Для
,
де .
1.2. Алгоритми псевдоінверсії матриць
Існує декілька методів представлення псевдооберненої матриці [1, 5]. Наведемо деякі з них.
1.2.1. Метод скелетизації матриць
Для будь-якої матриці розмірності можливий такий розклад
,
де , і мають відповіднорозмірності . Тоді
.
1.2.2. Метод сингулярного представлення
Кожна прямокутна матриця розмірності допускає сингулярне представлення у виді
,
де , - нормовані власні вектори матриці ,тобто
- нормовані власні вектори матриці , тобто
Псевдообернена до матриця має наступне сингулярне представлення
1.2.3. Метод Мура-Пенроуза
Якщо матриця розмірності , то псевдообернену матрицу можна представити наступною формулою
.
Формулу використовують, коли mn, - одинична матриця розмірності n.
1.3. Проекційні оператори
Матриця є проекційною, яка довільний вектор проектує на лінійну оболонку, що натягнута на власні вектор-рядки матриці . Справді,
.
Для будь-якого вектора маємо , де . Неважко бачити, що вектор є проектується на підпростір, базисом якого є лінійно-незалежні вектор-рядки матриці .
Розглянемо тепер матрицю такого вигляду
.
Тут - одинична матриця розмірності . Відомо ,що .Тобто, якщо ортонормований базис матриці доповнити деякими ортонормованими векторами до повного ортонормованого базису простору .
Отже . Тобто, - це теж проекційна матриця, але на ортогональне доповнення до лінійної оболонки, натягнутої на власні вектор-рядки матриці .
Крім матриці слід згадати про такі важливі матриці, які теж являються проекційними
- проекційна матриця на ортогональне доповнення до лінійної оболонки, натягнутої на власні вектор-стовпчики матриці .
Приведемо декілька корисних співвідношень, в справедливості кожного з яких можна легко переконатися, записавши сингулярний розклад матриць
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Loading...

 
 

Цікаве