WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Опукла оболонка - Реферат

Опукла оболонка - Реферат


Реферат на тему:
Опукла оболонка
Означення. Афінна геометрія складається з множини скалярів S (дійсних чисел), множини точок P та множини вільних векторів V (або просто векторів). Точки використовуються для задання положення, а вектори - для задання напрямку та величин, хоча вони і не мають фіксованого положення у просторі.
Операції афінної геометрії:
1. добуток скаляра на вектор: S * V V;
2. додавання векторів: V + V V;
3. віднімання точок: P - P V;
4. додавання точки та вектора: P + V P;
додавання векторів віднімання точок додавання точок та вектора
Різницею двох точок p та q буде вектор, який направлево з q до p.
Кількість операцій можна розширити. Наприклад, різницю векторів можна визначити як u - v = u + (-1) * v, а ділення вектора на скаляр як v / a = (1 / a) * v. Але не можна додавати дві точки або множити точку на скаляр.
Означення. Нехай в Ed задано k різних точок p1, p2, ...,pk. Множина точок p таких що
p = a1p1 + a2p2 + ... + akpk (ai R, a1 + a2 + ...+ ak = 1)
називається афінною множиною, породженою точками p1, p2, ..., pk, а p називається афінною комбінацією точок p1, p2, ..., pk.
Афінна комбінація є частковим випадком лінійної комбінації (вводиться додаткова умова a1 + a2 + ...+ ak = 1). При k = 2 афінна множина - це пряма, що проходить через дві точки p1 та p2.
Приклад. Нехай дано дві точки p1, p2 та число а. Позначимо через Aff(p0, p1, a) комбінацію (1 - a) * p1 + a * p2 = p1 + a * (p2 - p1). Ліва частина рівності містить недопустиму операцію (додавання точок), але еквівалентний їй алгебраїчний вираз правої частини є допустимим. Якщо p1 p2, то Aff(p0, p1, a) лежить на прямій p1p2. Коли а пробігає всі дійсні значення, то вираз Aff(p0, p1, a) пробігає всі точки прямої p1p2. При a [0; 1] значення Aff(p0, p1, a) пробігає всі точки відрізку [p; q].
Для представлення векторів та точок в афінному просторі використовуються гомогенні координати. При роботі з d вимірним афінним простором координати будемо представляти (d + 1) - кортежами дійсних чисел. Перший елемент кортежа дорівнює 1 для точки і 0 для вектора. Інші d елементів кортежа відповідають безпосередньо координатам.
P(1; 1; 3), Q(1; 4; 1), u(0; 1; 2).
P - Q = (1-1; 1-4; 3-1) = (0; -3; 2).
Означення. Три точки p, q, r на площині мають додатню орієнтацію, якщо вони утворюють трикутник, орієнтований проти годинникової стрілки та від'ємну орієнтацію, якщо обхід трикутника pqr відбувається за годинниковою стрілкою. Три точки p, q, r мають нульову орієнтацію, якщо вони лежать на одній прямій.
додатня нульова від'ємна
Орієнтація визначається знаком детермінанта, визначеного координатами трьох точок в гомогенних координатах:
Orient(p, q, r) =
Означення. Нехай в просторі Ed задана підмножина L. Афінною оболонкою aff(L) множини L називається найменша афінна множина, яка містить L.
Афінною оболонкою відрізка є пряма, афінною оболонкою плоского многокутника є площина.
Означення. Нехай в Ed задано k різних точок p1, p2, ...,pk. Множина точок p таких що
p = a1p1 + a2p2 + ... + akpk (ai R, ai 0, a1 + a2 + ...+ ak = 1)
називається опуклою множиною, породженою точками p1, p2, ..., pk, а p називається опуклою комбінацією точок p1, p2, ..., pk.
Опукла комбінація є звуженням афінної комбінації. При k = 2 опуклою множиною є відрізок, який сполучає задані точки.
Означення. Нехай в просторі Ed задана підмножина L. Опуклою оболонкою conv(L) множини L називається найменша опукла множина, яка містить L.
Означення. Поліедральною множиною в називається перетин скінченної множини замкнених півпросторів (півпростір - це частина Ed, розташована по одну сторону від деякої гіперплощини).
Поліедральна множина є опуклою, оскільки півпростір є опуклим та перетин опуклих множин є опуклою множиною. Плоскі многокутники та тривимірні многогранники є прикладами скінченних поліедральних множин. Скінченну d - мірну поліедральну множину будемо називати опуклим d - політопом (або просто політопом).
Теорема. Опукла оболонка скінченної множини точок в є опуклим політопом. Кожний опуклий політоп є опуклою оболонкою деякої скінченної множини точок.
Опуклий політоп задається описом його границі, яка складається з граней. Кожна грань опуклого політопа є опуклою множиною (політопом низької розмірності). Якщо політом має вимірність d, то його d - 1 грані називаються гіпергранями, d - 2 грані - підгранями, 1 - грані - ребрами, 0 - грані - вершинами. Для 3 політопа гіпергранями є плоскі многокутники, а підграні та ребра співпадають. В цій термінології порожня множина трактується як (-1) грань.
Означення. d політоп називається d симплексом, якщо він є опуклою оболонкою (d + 1) афінно незалежних точок. Кожна підмножина з цих d вершин є симплексом і є гранню. Кожна k грань містить 2k+1 граней розмірностей k, k-1, k-2, ..., 0, -1.
При d = 0, 1, 2, 3 відповідний симплекс є точкою, ребром, трикутником та трикутною пірамідою.
Наприклад, трикутна піраміда (3 грань) містить одну 3 грань (сама піраміда), чотири 2 грані (трикутники), шість 1 граней (ребра), чотири 0 граней (вершини) та одну (-1) грань (порожня множина), що разом складає 16 = 24 граней.
Означення. d політоп називається симпліциальним, якщо його кожна гіпергрань є симплексом.
Задача 1. Опукла оболонка. В Ed задано множину S, що містить N точок. Необхідно побудувати їх опуклу оболонку (повний опис границі CH(S)).
Задача 2. Крайні точки. В Ed задано множину S, що містить N точок. Необхідно визначити ті з них, які є вершинами опуклої оболонки conv(S).
Задача 3. Перевірка крайності точок площини. На площині задано N точок. Визначити, чи є вони вершинами своєї власної опуклої оболонки.
Теорема. Задача сортування зводиться за лінійний час до задачі побудови опуклої оболонки. Для знаходження впорядкованих N точок опуклої оболонки потрібен час O(N log N).
Доведення. Нехай дано N додатних дійсних чисел x1, x2, ..., xN. Поставимо у відповідність точці xi точку (xi, xi+1) і присвоємо їй номер i. Утворені точки лежать на параболі y = x2. Опукла оболонка цієї множини точок буде складатися зі списку точок множини, впорядкованому за значенням
Loading...

 
 

Цікаве