WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Відношення еквівалентності - Реферат

Відношення еквівалентності - Реферат


Реферат на тему:
Відношення еквівалентності
Відношення R на множині M називається відношенням еквівалентності (або просто еквівалентністю), якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.
Враховуючи важливість відношення еквівалентності, дамо розгорнуте означення цього поняття. Таким чином, відношення R на множині M є відношенням еквівалентності або евівалентністю, якщо
1. aRa для всіх a M (рефлексивність);
2. Якщо aRb, то bRa для a,b M (симетричність);
3. Якщо aRb і bRc, то aRc для a,b,c M (транзитивність).
Приклад 1.15. 1. Відношення рівності iM на будь-якій множині M є відношенням еквівалентності. Рівність - це мінімальне відношення еквівалентності, бо при видаленні бодай одного елемента з iM відношення перестає бути рефлексивним, а отже, і відношенням еквівалентності.
2. Відношення рівнопотужності множин є еквівалентністю.
3. Важливу роль відіграє в математиці відношення "мають однакову остачу при діленні на k" або "конгруентні за модулем k", яке є відношенням еквівалентності на множині N натуральних чисел для будь-якого фіксованого k N. Відношення конгруентності за модулем k часто позначають a b (mod k). Цьому відношенню належать, наприклад, пари натуральних чисел (17,22), (1221,6), (42,57) для k=5, тобто 17 22(mod 5), 1221 6 (mod 5), 42 57 (mod 5).
4. Еквівалентністю є відношення подібності на множині всіх трикутників.
Сукупність множин { Bi | i I} називається розбиттям множини A, якщо Bi=A і Bi Bj = для i j. Множини Bi, i I є підмножинами множини A і називаються класами, суміжними класами, блоками або елементами розбиття. Очевидно, що кожний елемент a A належить одній і тільки одній множині Bi, i I.
Припустимо, що на множині M задано відношення еквівалентності R. Виконаємо таку побудову. Виберемо деякий елемент a M і утворимо підмножину SaR = { x | x M і aRx}, яка складається з усіх елементів множини M еквівалентних елементу a. Відтак, візьмемо другий елемент b M такий, що b SaR і утворимо множину SbR = { x | x M і bRx } з елементів еквівалентних b і т.д. Таким чином одержимо сукупність множин (можливо, нескінченну) {SaR,SbR,...}. Побудована сукупність множин { SiR | i I} називається фактор-множиною множини M за еквівалентністю R і позначається M/R.
Приклад 1.16. 1. Фактор-множина за відношенням рівності E для будь-якоїмножини M має вигляд M/E = { {a} | a M}.
2. Фактор-множина для відношення "конгруентні за модулем 3" на множині N натуральних чисел складається з трьох класів { 3k | k N }, { 3k-1 | k N } і { 3k-2 | k N}.
Доведемо, що фактор-множина M/R є розбиттям множини M. Оскільки за побудовою кожний елемент множини M належить принаймні одній з множин SiR, i I, то SiR = M. Відтак припустимо, що для деяких SaR SbR існує елемент c SaR SbR. Тоді з c SaR випливає aRc, а з c SbR випливає bRc. Iз симетричності і транзитивності відношення R виводимо aRb і bRa. Iз співвідношення aRb і правила побудови множини SaR маємо SaR SbR, а з bRa і правила побудови множини SbR одержуємо протилежне включення SbR SaR. Отже, SaR=SbR, і з одержаної суперечності випливає справедливість сформульованого твердження.
Очевидно, що будь-які два елементи з одного класу SiR еквівалентні між собою, в той час як будь-які два елементи з різних класів фактор-множини M/R нееквівалентні. Класи SiR називають класами еквівалентності за відношенням R. Клас еквівалентності, який містить елемент a M часто позначають через [a]R.
Потужність фактор-множини |M/R| називається індексом розбиття або індексом відношення еквівалентності R.
З іншого боку, припустімо, що для множини M задано деяке розбиття {Si | i I }. Побудуємо відношення T на множині M за таким правилом: aTb для a,b M тоді і тільки тоді, коли a і b належать тій самій множині Si розбиття. Неважко переконатись, що відношення T є рефлексивним, симетричним і транзитивним, тобто є відношенням еквівалентності на множині M.
Отже, справедлива така теорема.
Теорема 1.10. Iснує взаємно однозначна відповідність між усіма можливими еквівалентностями на множині M і всіма розбиттями множини M. Тобто, кожному відношенню еквівалентності на множині M відповідає єдине розбиття даної множини на класи і, навпаки, кожне розбиття множини M однозначно задає деяке відношення еквівалентності на M.
Нехай R відношення еквівалентності на множині M. Відображення множини M на фактор-множину M/R, яке кожному елементу a M ставить у відповідність клас еквівалентності SaR, якому належить елемент a, називається канонічним або природним відображенням множини M на фактор-множину M/R.
Loading...

 
 

Цікаве