WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Кардинальні числа - Реферат

Кардинальні числа - Реферат


Реферат на тему:
Кардинальні числа
Нехай A - деяка множина і S = { B | B ~ A} - сукупність усіх множин, рівнопотужних множині A. Очевидно, що всі множини з S рівнопотужні. Кардинальним числом (позначається |A|, або Card A) будемо називати деякий об'єкт для позначення потужності будь-якої множини із сукупності S.
Зокрема, для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне число, яким позначається кількість елементів будь-якої з множин сукупності S. Таким чином, можна вважати, що кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.
Природно виникає питання про порівняння кардинальних чисел нескінченних множин.
Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:
1. Iснує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і |A|=|B|.
2. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою власною підмножиною B' множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A не менша від потужності множини B і записують |A| |B|.
3. Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки, множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B' B і B~A' A.
За теоремою Кантора-Бернштейна, доведення якої наведено нижче, у цьому випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|.
4. Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між собою.
Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору (див.розд.1.13), можна довести неможливість четвертого випадку.
Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A| |B| або |B| |A|.
Якщо |A| |B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то писатимемо |A| |A|.
Доведення. Оскільки існує тривіальна взаємно однозначна відповідність f між множиною A і підмножиною множини (A): f = { (a,{a}) | a A, {a} (A)}, то достатньо довести, що множини A і (A) нерівнопотужні.
Доведення проведемо від супротивного. Припустимо, що існує взаємно однозначна відповідність g між множинами A і (A): g = { (b,B) | b A і B (A)}. У кожній парі відповідності перша координата b - це елемент множини A, а друга координата B - деяка підмножина множини A. Тому для кожної пари (b,B) g виконується одне з двох співвідношень: або b B, або b B. Побудуємо нову множину K = { b | b A і b B для (b,B) g }.
З того, що (A) випливає, що K .
Оскільки K є підмножиною множини A (K (A)), то при взаємно однозначній відповідності g підмножина K відповідає деякому елементові k A, тобто існує пара (k,K) g. Тоді відносно елемента k A і підмножини K A можливі дві ситуації: або k K, або k K.
Нехай k K, тоді з умови (k,K) g і правила побудови множини K випливає, що k K.
З іншого боку, якщо припустити, що k K, то з (k,K) g і правила побудови множини K повинно виконуватись k K.
Одержана суперечність доводить неможливість встановлення взаємно однозначної відповідності між A і (A). Таким чином, |A| < | (A)|.
Наслідок 1.9.1. Не існує множини, яка має найбільшу потужність, тобто не існує найбільшого кардинального числа.
Справді, розглянувши множини N, (N), ( (N)),..., одержимо нескінченно зростаючу послідовність відповідних кардинальних чисел 0 , 1 =2 0, 2 =2 1, ...
На закінчення зупинимось ще на одній цікавій класичній проблемі теорії множин, сформульованій ще у 1884 році Г.Кантором:
гіпотеза континуума, яка стверджує, що не існує множини, кардинальне число якої розташоване між 0 і 1, тобто 0 < для будь-якого кардинального числа ' випливає ' > 2 .
Проблему гіпотези континуума майже вісім десятків років намагалися розв'язати найкращі математики світу. I лише у 1963 році тридцятирічний американський математик Пол Коен довів, що гіпотезу континуума не можна ні довести, ні спростувати, виходячи з аксіом теорії множин. Отже, прийняття або відхилення гіпотези континуума є однаково законними, що веде до можливості побудови двох різних несуперечливих теорій множин.
Loading...

 
 

Цікаве