WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Декартів (прямий) добуток множин. Відповідності, функції і відображення - Реферат

Декартів (прямий) добуток множин. Відповідності, функції і відображення - Реферат

відповідності C із попереднього абзацу.
а) б)
Рис.1.2.
Відповідність можна задавати, визначаючи співвідношення, яким мають задовольняти її обидві координати. Наприклад, якщо розглянемо класичну координатну площину R2=R R, то маємо такі відповідності C1={(x,y) | x2 + y2 = 1}, C2 = {(x,y) | y = x2 }, C3 = {(x,y)| |x| 1, |y| 1}. Графіком відповідності C1 є коло радіуса 1 з центром у початку координат, графіком C2 - квадратична парабола, а графіком C3 - всі точки квадрата з вершинами (-1,-1),(-1,1),(1,1) і (1,-1).
Припустимо, що C A B деяка відповідність.
Множина Pr1C називається областю визначення, а множина Pr2C - областю значень відповідності C (інші позначення - С і С відповідно).
Якщо Pr1C=A, то відповідність C називається всюди або повністю визначеною. В противному разі відповідність називається частковою.
Образом елемента a Pr1C при відповідності C називається множина всіх елементів b Pr2C, які відповідають елементу a.
Прообразом елемента b Pr2C при відповідності C називається множина всіх тих елементів a Pr1C, яким відповідає елемент b.
Якщо A Pr1C, то образом множини A при відповідності C називається об'єднання образів усіх елементів з A. Аналогічно означається прообраз деякої множини B Pr2C.
Оскільки відповідності є множинами, то до довільних відповідностей можуть бути застосовані всі відомі теоретико-множинні операції: об'єднання, перетин, різниця тощо.
Додатково для відповідностей введемо дві специфічні операції.
Відповідністю, оберненою до заданої відповідності C між множинами A і B, називається відповідність D між множинами B і A така, що
D ={(b,a) | (a,b) C}.Відповідність, обернену до відповідності C, позначають C-1.
Якщо задано відповідності C A B і D B F, то композицією відповідностей C і D (позначається C D ) називається відповідність H між множинами A і F така, що H = { (a,b)| існує елемент c B такий, що (a,c) C і (c,b) D }.
Розглянемо окремі важливі випадки відповідностей.
Відповідність f A B називається функціональною відповідністю або функцією з A в B, якщо кожному елементові a Pr1f відповідає тільки один елемент з Pr2f, тобто образом кожного елемента a Pr1f є єдиний елемент з Pr2f. Якщо f - функція з A в B, то кажуть, що функція має тип A B і позначають f:A B або A B. Зокрема, всі функції, які вивчаються в елементарній математиці, є окремими випадками функціональних відповідностей з R2= R R або функціями типу R R.
Всюди визначена функціональна відповідність f A B називається відображенням A в B і записується як і функція f:A B або A B. Відображення називають також всюди або повністю визначеними функціями.
Відображення типу A A називають перетвореннями множини A.
Через BA позначається множина всiх вiдображень з A в B.
Оскільки функція і відображення є окремими випадками відповідності, то для них мають місце всі наведені вище означення: поняття областей визначення та значень, поняття образу та прообразу елементів і множин та ін. Зокрема, для функції f елементи множини Pr1f називають аргументами функції, образ елемента a Pr1f позначають через f(a) і називають значенням функції f на a. Прообраз елемента b Pr2f позначають через f-1(b). Аналогічно позначаються образ і прообраз множини.
Нехай f:A B функція з множини A в множину B, а g:B C - функція з множини B в множину C. Суперпозицією (композицією) функцій f і g, яка позначається f g, називається функція h:A C така, що h(a) = g(f(a)) для a Pr1f A і f(a) Pr1g B.
Відображення f називається сюр'єктивним (сюр'єкцією) або відображенням на множину B, якщо Pr2f = B.
Відображення f називається ін'єктивним (ін'єкцією) або різнозначним відображенням, якщо для кожного елемента b Pr2f його прообраз f-1(b) складається тільки з одного елемента. Іншими словами, різним елементам множини A відповідають різні елементи множини B.
Нарешті, відображення, яке є одночасно сюр'єктивним і ін'єктивним, називається бієктивним відображенням або бієкцією.
Бієктивні відображення називають часто також взаємно однозначними відображеннями або взаємно однозначними відповідностями між множинами A і B. Взаємно однозначні відображення відіграють велику роль в математиці, зокрема, в теорії множин.
Таким чином, вiдповiднiсть є взаємно однозначною, тоді і лише тоді, коли вона функцiональна, всюди визначена, сюр'єктивна та iн'єктивна.
Вiдповiднiсть iA = { (a,a) | a A } називається тотожним перетворенням, дiагональною вiдповiднiстю або дiагоналлю в A.
Наведемо приклади відповідностей, відображень та функцій.
Приклад 1.11. 1. Відповідність між клітинками і фігурами на шахівниці в будь-який момент гри є функціональною, але не є відображенням, оскільки не всі поля шахівниці зайняті фігурами.
2. Відповідність між натуральними числами і сумами цифр їх десяткового запису є відображенням. Це відображення не є ін'єктивним, оскільки йому належать такі, наприклад, пари, як (17, 8) і (26,8).
3. Відповідність, за якою кожному натуральному числу n N відповідає число 3n, очевидно, є взаємно однозначною відповідністю між множиною всіх натуральних чисел і множиною натуральних чисел кратних 3.
4. Відповідність між множиною точок координатної площини R2 і множиною всіх векторів із початком у точці (0,0) є взаємно однозначною.
Loading...

 
 

Цікаве