WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Декартів (прямий) добуток множин. Відповідності, функції і відображення - Реферат

Декартів (прямий) добуток множин. Відповідності, функції і відображення - Реферат


Реферат на тему:
Декартів (прямий) добуток множин. Відповідності, функції і відображення
1. Декартів (прямий) добуток множин
Окремо розглянемо ще одну дуже важливу операцію над множинами.
Декартовим (прямим) добутком множин A і B (записується A B) називається множина всіх пар (a,b), в яких перший компонент належить множині A (a A), а другий - множині B (b B).
Тобто
A B = {(a,b) | a A і b B } або (a,b) A B
Декартів добуток природно узагальнюється на випадок довільної скінченної сукупності множин. Якщо A1, A2,..., An - множини, то їхнім декартовим добутком називається множина
D = { (a1,a2,...,an) | a1 A1, a2 A2,..., an An },
яка складається з усіх наборів (a1,a2,...,an), в кожному з яких i-й член, що називається i-ю координатою або i-м компонентом набору, належить множині Ai, i=1,2,...,n. Декартів добуток позначається через A1 A2 ... An.
Набір (a1,a2,...,an), щоб відрізнити його від множини, яка складається з елементів a1,a2,...,an, записують не у фігурних, а в круглих дужках і називають кортежем, вектором або впорядкованим набором. Довжиною кортежу називають кількість його координат. Два кортежі (a1,a2,...,an) і (b1,b2,...,bn) однакової довжини вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати, тобто ai=bi, i=1,2,...,n. Отже, кортежі (a,b,c) і (a,c,b) вважаються різними, в той час як множини {a,b,c} і {a,c,b} - рівні між собою.
Декартів добуток множини A на себе n разів, тобто множину A A ... A називають n-м декартовим (або прямим) степенем множини A і позначають An.
Прийнято вважати, що A0 = (n=0) і A1 = A (n=1).
Приклад 1.9. 1. Якщо A = {a,b} і B = {b,c,d}, то
A B = {(a,b),(a,c),(a,d),(b,b),(b,c),(b,d)},
A2 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}.
2. Якщо R - множина дійсних чисел або множина точок координатної прямої, то R2 - це множина пар (a,b), де a,b R, або множина точок координатної площини.
Координатне зображення точок площини вперше було запропоновано французьким математиком і філософом Рене Декартом, тому введена теоретико-множинна операція і називається декартовим добутком.
3. Скінченна множина A, елементами якої є символи (літери, цифри, спеціальні знаки тощо), називається алфавітом. Елементи декартового степеня A називаються словами довжини n в алфавіті A. Множина всіх слів в алфавіті A - це множина
A* = {e} A A2 A3 ... = {e} Ai,
де e - порожнє слово (слово довжини 0), тобто слово, яке не містить жодного символу алфавіту A.
Замість запису слів з An у вигляді кортежів (a1,a2,...,an) частіше використовують традиційну форму запису слів у вигляді послідовності символів a1a2...an, aj A, j=1,2,...,n. Наприклад, 010111, 011, 0010, 100, 010 - слова в алфавіті B = {0,1}, а 67-35, -981, (450+12)/27, 349*2+17 - це слова в алфавіті C = {0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9,+,-,*,/,(,)}.
Операція декартового добутку неасоціативна і некомутативна, тобто множини (A B) C і A (B C), а також множини A B і B A, взагалі кажучи, нерівні між собою.
Зв'язок декартового добутку з іншими теоретико-множинними операціями встановлюється такими тотожностями:
(A B) C = (A C) (B C),
(A B) C = (A C) (B C),
A (B C) =(A B) (A C), (1.8)
A (B C) =(A B) (A C).
Проекцією на i-у вісь (або i-ою проекцією) кортежу w=(a1,a2,...,an) називається i-а координата ai кортежу w, позначається Pri(w) = ai.
Проекцією кортежу w=(a1,a2,...,an) на осі з номерами i1,i2,...,ik називається кортеж (ai1,ai2,...,aik), позначається Рri1,i2,...,ik(w) = (ai1,ai2,...,aik).
Нехай V - множина кортежів однакової довжини. Проекцією множини V на i-у вісь (позначається PriV ) називається множина проекцій на i-у вісь усіх кортежів множини V: PriV = { Pri(v) | v V }.
Аналогічно означається проекція множини V на декілька осей:
Pri1,i2,...,ikV = { Pri1,i2,...,ik(v) | v V }.
Приклад 1.10. Pri1,i2,...,ik( A1 A1 ... An ) = Ai1 Ai2 ... Aik.
Якщо V={(a,b,c),(a,c,d),(a,b,d)}, то Pr1V={a}, Pr2V={b,c}, Pr2,3V={(b,c),(c,d), (b,d)}.
2. Відповідності, функції і відображення
Відповідністю між множинами A і B називається будь-яка підмножина C A B.
Якщо (a,b) C, то кажуть, що елемент b відповідає елементу a при відповідності C.
Оскільки відповідності є множинами, то для їхнього задання використовують ті самі методи, що й для довільних множин.
Крім того, відповідність можна задавати (або ілюструвати) за допомогою так званого графіка відповідності. Нехай А={1,2,3,4,5} і B={a,b,c,d}, а C = {(1,a),(1,d),(2,с),(2,d),(3,b),(5,a),(5,b)} - відповідність між A і B. Позначимо через 1,2,3,4,5 вертикальні прямі, а через a,b,c,d - горизонтальні прямі на координатній площині (рис.1.2,а). Тоді виділені вузли на перетині цих прямих позначають елементи відповідності C і утворюють графік відповідності
Зручним методом задання невеликих скінченних відповідностей є діаграма або граф відповідності. В одній колонці розташовують точки, позначені елементами множини A, у колонці праворуч - точки, позначені елементами множини B. З точки a першої колонки проводимо стрілку в точку b другої колонки тоді і тільки тоді, коли пара (a,b) належить заданій відповідності. На рис.1.2,б зображено діаграму
Loading...

 
 

Цікаве