WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Поняття множини. Способи задання множин. Операції над множинами та їхні властивості. Підмножини - Реферат

Поняття множини. Способи задання множин. Операції над множинами та їхні властивості. Підмножини - Реферат

підмножиною будь-якої множини A, тобто A (зокрема, ).
Слід чітко розуміти різницю між знаками і і не плутати ситуації їхнього вживання. Якщо {a} M, то a M, і навпаки.
Однак із включення {a} M, взагалі кажучи, не випливає {a} M. Для будь-якого об'єкта x виконується x . Наприклад, для множини D (1.1) і її елементів виконуються такі співвідношення: {a,b} D, {{a,b},{b,c}} D, a {a,b}, {c} {a,c}, {a} {a,b}.
3. Операції над множинами та їхні властивості
Для множин можна ввести ряд операцій (теоретико-множинних операцій), результатом виконання яких будуть також множини. За допомогою цих операцій можна конструювати із заданих множин нові множини.
Нехай A і B деякі множини.
а) Об'єднанням множин A і B (позначається A B ) називається множина тих елементів, які належать хоча б одній з множин A чи B. Символічно операція об'єднання множин записується так
A B = { x | x A або x B} або x A B
Приклад 1.3. {a,b,c} {a,c,d,e} = {a,b,c,d,e}.
б) Перетином множин A і B (позначається AB ) називається множина, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать множинам A і B одночасно. Тобто
A B = { x | x A і x B} або x A B
Приклад 1.4. {a,b,c} {a,c,d,e} = {a,c}, {a,b,c} {d,e} = .
Кажуть, що множини A і B не перетинаються, якщо A B = .
Операції об'єднання та перетину множин можуть бути поширені на випадок довільної сукупності множин {Ai | i І}. Так об'єднання множин Ai (записується Ai ) складається з тих елементів, які належать хоча б одній з множин Ai даної сукупності. А перетин множин A (записується Ai) містить тільки ті елементи, які одночасно належать кожній з множин Ai.
в). Різницею множин A і B (записується AB ) називається множина тих елементів, які належать множині A і не належать множині B. Отже,
A B = { x | x A і x B} або x A B
Приклад 1.5. {a,b,c} {a,d,c} = {b},
{a,c,d,e} {a,b,c} = {d,e},
{a,b} {a,b,c,d} = .
г). Симетричною різницею множин A і B (записується A B, A B або A B ) називається множина, що складається з усіх елементів множини A, які не містяться в B, а також усіх елементів множини B, які не містяться в A. Тобто
A B = { x | ( x A і x B ) або ( x B і x A )} або x A B
Приклад 1.6. {a,b,c} {a,c,d,e} = {b,d,e},
{a,b} {a,b} = .
Введені теоретико-множинні операції можна проілюструвати діаграмою (рис.1.1).
Тут множини A і B - це множини точок двох кругів.
Тоді A B - складається з точок областей І, ІІ, ІІІ,
A B - це область ІІ,
A B - область І,
B A - область ІІІ,
A B - області І і ІІІ.
Рис. 1.1.
д). У конкретній математичній теорії буває зручно вважати, що всі розглядувані множини є підмножинами деякої фіксованої множини, яку називають універсальною множиною або універсумом і позначають через E (або U). Наприклад, в елементарній алгебрі такою універсальною множиною можна вважати множину дійсних чисел R, у вищій алгебрі - множину комплексних чисел C, в арифметиці - множину цілих чисел Z, в традиційній планіметрії - множину всіх точок площини або множину всіх геометричних об'єктів, тобто множину множин точок на площині тощо.
Якщо зафіксована універсальна множина E, то доповненням множини A (яке є підмножиною універсальної множини E ) - записується - називається множина всіх елементів універсальної множини, які не належать множині A.
Тобто
= { x | x E і x A } або x x A.
Неважко помітити, що = E A.
Приклад 1.7. Якщо за універсальну множину прийняти множину N всіх натуральних чисел, то доповненням множини P всіх парних натуральних чисел буде множина всіх непарних натуральних чисел.
Зазначимо у вигляді тотожностей властивості введених вище теоретико-множинних операцій.
1. Асоціативність (A B) C = A (B C); (A B) C = A (B C).
2. Комутативність A B = B A; A B = B A.
3. Дистрибутивність A (B C)=(A B) (A C); A (B C)=(A B) (A C),
4. Ідемпотентність A A = A; A A = A. (1.2)
5. Інволютивність = A.
6. Правила (закони) де Моргана = ; = .
Зазначимо, що правила де Моргана припускають узагальнення для сукупності множин:
; .
Наведемо ще ряд корисних теоретико-множинних тотожностей:
A = A, A = ;
A E = E, A E = A;
A = E, A = ; (1.3)
= , = E.
Окремо запишемо властивості операції симетричної різниці:
A B = (AB) (BA) = (A B) (A B) = (A ) ( B),
(A B) C = A (B C) (асоціативність),
A B = B A (комутативність) (1.4)
A (B C) = (A B) (A C) (дистрибутивність відносно перетину),
A A = , A E = , A = A.
Приклад 1.8. Покажемо істинність однієї з наведених тотожностей - правила де Моргана.
= . (1.5)
Доведемо спочатку, що
. (1.6)
Нехай елемент x , тоді x E (A B), тобто x A і x B, звідси x і x , отже, x . Таким чином, має місце .
Доведемо обернене включення
. (1.7)
Припустимо x , це означає, що x і x , тобто x A і x B, звідси x A B, отже x . Зі справедливості обох включень (1.6) і (1.7.) випливає істинність рівності (1.5).
Аналогічно можуть бути доведені всі інші наведені теоретико-множинні тотожності. Ці тотожності дозволяють спрощувати різні складні вирази над множинами.
Приклад 1.9. Послідовно застосовуючи тотожності з (1.2) і (1.3), маємо
(A B C ) ( C) ( C) (C D) = (A B C ) (( D) C) = = ((A B ) ( )) C = E C = C.
Loading...

 
 

Цікаве