WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Множина комплексних чисел - Курсова робота

Множина комплексних чисел - Курсова робота

= -2 находим, что u1 = 2, v1 = -1, u2 = -2, v2 = 1, т.е. 2 - i и -2 + i - значения квадратного корня из комплексного числа 3 - 4i.
Геометрическое изображение комплексного числа
Всякое комплексное число ? = a + bi мы можем изображать как точку на плоскости с координатами a и b (рис. 1). Число ? называют аффиксом этой точки. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называют комплексной числовой плоскостью. Начало координат, которому соответствует число 0, называют нулевой точкой. При таком изображении комплексных чисел действительные числа изображаются точками оси абсцисс, точки же оси ординат представляют чисто мнимые числа. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью, ось ординат - мнимой осью. Сопряженные комплексные числа ? и изображаются точками, симметричными относительно действительной оси, противоположные комплексные числа ? и -? симметричны относительно нулевой точки.
Комплексные числа и соответствующие им точки комплексной плоскости обозначают буквой z и пишут z = x + iy, где x - действительная часть (x = Rez), y - мнимая часть (y = Imz).
Модуль и аргумент комплексного числа
Комплексное число z = x + iy изобразим точкой z комплексной плоскости; точка z имеет координаты (x, y). Рассмотрим радиус-вектор этой точки (рис. 2). Модулем комплексного числа z называют длину г радиус-вектора данной точки. Модуль комплексного числа z обозначают через |z|. Следовательно, по определению
r = |z|, |z| 0. (17)
Поскольку г = (получено из формулы для расстояния между двумя точками на плоскости: 0 (0, 0) и z (x, y)), то
|z| = . (18)
Эта формула выражает модуль комплексного числа z = x + iy через его действительную и мнимую часть. Формула (18) имеет простой геометрический смысл: она выражает длину гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами |х| и |y| (см. рис. 2).
Отметим, что модуль комплексного числа является неотрицательным действительным числом.
Аргументом комплексного числа z = x + iy называют величину угла ? наклона радиус-вектора к положительной полуоси Ox. Аргумент комплексного числа z обозначают так: Argz. При изменении z этот угол может принимать любые действительные значения (как положительные, так и отрицательные; последние отсчитываются по часовой стрелке). Если модули двух комплексных чисел равны, а значения угла ? отличаются друг от друга на 2?, или на число, кратное 2?, то точки, соответствующие этим комплексным числам, совпадают; комплексные числа в этом случае равны между собой. Следовательно, аргумент комплексного числа z имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на число, кратное 2?. Аргумент не определен лишь для числа 0, модуль которого равен нулю: |0| =0. Среди значений аргумента комплексного числа z 0 существует одно и только одно значение, заключенное между -?, +?, включая последнее значение. Его называют главным значением аргумента и обозначают argz. Итак, модуль и аргумент комплексного числа z удовлетворяют следующим соотношениям:
|z| 0, -? 0) равно ?/2, главное значение аргумента мнимого числа -bi (b > 0) равно -?/2.
Выразим действительную и мнимую части комплексного числа z = x + iy через его модуль и аргумент. Пусть точка z изображает число z = x + iy (рис. 2). Из прямоугольного треугольника ОAz получаем
x = r cos?, y = r sin?, (19)
где r = |z|. Отсюда и из формул (17), (18) следует:
cos? = , sin? = , tg? = .
Например: 1) найдём аргумент числа z = 1 - i. Так как Re z = 1, Im z = -1, то точка z = 1 - i лежит в IV четверти. Поэтому достаточно найти такое решение одного из последних уравнений , которое является углом в IV четверти. Рассмотрим уравнение cos? = . Находим
cos ? = , ? = + 2k? (k = 0, 1, 2, …);
2) найдём аргумент числа -1- i. Точка -1-i лежит в III четверти. Найдём такое решение уравнения tg ? = , которое является углом в III четверти. Находим
tg ? = 1, ? = + 2k? (k = 0, 1, 2, …).
Тригонометрическая форма комплексного числа
Рассмотрим комплексное число
z = x + iy. (20)
Подставляя сюда выражения для x и y через модуль и аргумент комплексного числа (см. формулы (19)), получаем z = r cos? + ir sin?, или
z = r (cos? + isin?) (r 0). (21)
Запись комплексного числа z в виде (21) называют тригонометрической формой этого числа.
Замечание. Не всякая запись комплексного числа через тригонометрические функции является тригонометрической формой этого числа. Например, запись числа ? в виде
i = cos + isin , или i = (-1)(cos + isin )
не является тригонометрической формой числа i: в первом случае у косинуса и синуса разные аргументы, во втором - имеется отрицательный множитель. Поскольку аргументами комплексного числа i являются числа ?/2 + 2k? (k = 0, ±1, ±2, ...)и только они, и |i| = 1, то тригонометрическая форма числа i имеет вид
i = cos ( + 2k?) + isin ( + 2k?) (k - любое целое число).
Очевидно, что
r (cos? + isin?) = r (cos(? +2k?) + isin(? +2k?)).
Два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2?. Следовательно, если
r1 (cos?1 + isin?1) = r2 (cos?2 + isin?2), (22)
то
r1 = r2, ?2 = ?1 + 2k? (k = 0, ±1, ±2, ...). (23)
Если комплексное число z = x + iy задано в тригонометрической форме (21), то комплексное число = x - iy записывается в форме
= r (cos(-?) + isin(-?)),
поэтому
|z| = | |, argz = -arg ,
т. е. при переходе от числа z к комплексно сопряженному числу модуль не меняется, а аргумент изменяет лишь знак (см. рис. 2).
Покажем, как умножать и делить комплексные числа, заданные в тригонометрической форме. Пусть даны два комплексных числа
z1 = r (cos? + isin?) , z2 = ? (cos? + isin?), (24)
где r = |z1|, ? = Argz1, ? = |z2|, ? = Argz2.
Пользуясь правилами действий над комплексными числами в алгебраической форме, находим
z1z2 = r (cos? + isin?) ?(cos? + isin?) = r?(cos?cos? + icos?sin? + isin?cos? + i2sin?sin? ) = r?(cos?cos? - sin?sin?) + i(cos?sin? + sin?cos?)),
или
z1z2 = r? (cos(? + ?) + isin(? + ?) ). (25)
Из полученной тригонометрической формы произведения двух комплексных чисел следует, что
|z1z2| = r? или |z1z2| = |z1| |z2|, (? + ?) = Arg(z1z2),
т. е. модуль произведения равен произведению модулей множителей, а сумма аргументов множителей является аргументом произведения.
Предположив, что z2 0, т. е. ? 0, найдем частное двух комплексных чисел z1 и z2 , заданных формулами (24):
или
. (26)
Из формулы (26) следует, что
, или ; (27)
? - ? = Arg . (28)
Формула (27) означает, что модуль частного равен модулю делимого, деленному на модуль делителя. Формула (28) показывает, что разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного двух комплексных чисел.
Формула (26) позволяет найти модуль и аргумент комплексного числа, обратного данному числу. Полагая в этой
Loading...

 
 

Цікаве