WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Похідна та її застосування - Курсова робота

Похідна та її застосування - Курсова робота

журналі "Acta Eruditorum" (прототип "Навчальних записок") і озаглавлений "Новий метод максимумів і мінімумів, а також дотичних, для якого не є перешкодою дробові й ірраціональні кількості, і особливий для цього рід вирахування". У цій статті, що складається усього лише з 6 сторінок,міститься виклад суті методу вирахування нескінченно малих, зокрема викладаються основні правила диференціювання. Отже, якщо в "Методі флюксій" як первісне поняття фігурує швидкість, то в "Новому методі" Лейбница таким поняттям є дотична .
Збільшення абсциси Лейбниц позначав через dx, що відповідає збільшенню ординати - через dy. Нині уживаний символ похідної
бере свій початок від Лейбница. У Лейбница основним поняттям була не похідна, для якої він навіть спеціального терміна не мав, а диференціал.
У середині XVIII ст. Ейлер став користуватися грецькою літерою ? для позначення приростів змінних величин, тобто ?y = y2 - y1, ?х = x2 - x1 і т.д. Це позначення збереглося понині. Ми пишемо:
.
Позначення і для похідної ввів Лагранж.
Сам термін "похідна" уперше зустрічається у француза Луа Арбогаста в його книзі "Обчислення похідних", опублікованої в Парижі в 1800 р. Цим терміном відразу ж став користуватися і Лагранж. Термін цей швидко ввійшов у загальний ужиток, а Коші, використовуючи початкову літеру цього терміна, став позначати похідну символом Dy або Df(x).
Термінологія Ньютона (флюенти, флюксії) і його символи похідної утратили своє значення. Лише у фізиці і механіці в деяких випадках позначають крапками над літерами похідні за часом.
Перший друкований курс диференціального вирахування вийшов у світ в Парижі в 1696 р. під заголовком "Аналіз нескінченно малих". Його автор Г. Ф. Де Лопиталь за основу цієї книги взяв рукопис Йоганна Бернуллі, одного з найближчих співробітників Лейбница. Ось чому цей курс варто розглядати як типовий добуток школи Лейбница.
У першій же главі своєї книги Лопиталь вимагає, "щоб величина, збільшена або зменшена на іншу нескінченно малу величину, могла бути розглянута як незмінна". Отут нескінченно мала розглядається як нуль, її можна відкидати. Це один з фундаментальних принципів вирахування нескінченно малих Лейбница, нині відкинутий наукою. Цим принципом користувався Лопиталь і при установленні формул диференціювання.
У перший період розробки математичного аналізу основоположники цієї теорії не могли досить чітко і ясно обґрунтувати принципи цієї теорії і тому шукали підтвердження правильності теорії в узгодженості математичних висновків з досвідом, із практикою при вирішенні задач механіки й астрономії. Однак проста перевірка гіпотези на практиці не дає абсолютної впевненості в її непогрішності. Досить одного факту, що не погодиться з даною гіпотезою, як вона буде спростована. Ось чому на наступних етапах перед математиками виникла проблема суворого математичного обґрунтування теорії математичного аналізу.
1.2. Екстремуми функції
Точка х0 називається точкою локального максимуму функції , якщо для будь-яких досить малих виконується нерівність
.
Точка х0 називається точкою локального мінімуму функції , якщо для будь-яких досить малих виконується нерівність
.
Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції , а значення функції в екстремальних точках - її екстремальними значеннями.
Необхідну ознаку локального екстремуму дає така теорема:
Теорема 1.Якщо функція має в точці х0 локальний екстремум, то або , або не існує.
Проте виявляється, що цього недостатньо, бо може , а функція в цій точці екстремуму не має.
Точки, в яких функція визначена та неперервна, і в цих точках або не існує, називаються критичними для функції.
Проте не в кожній критичній точці функція має екстремум. Тому потрібні достатні ознаки існування екстремуму для функції f. Їх дають такі теореми:
Теорема 2.Нехай функція неперервна в деякому інтервалі, який містить критичну точку х0, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (за винятком, можливо, самої точки х0).
Якщо для х<х0 , а для х0Якщо для х<х0 , а для х0Теорема 3.Нехай функція два рази диференційована в околі точки х0 і . Тоді в точці х=х0 функція має локальний максимум, якщо , і локальний мінімум, якщо .
Якщо ж , то точка х=х0 може й не бути точкою екстремуму.
Звідси випливає такий план знаходження екстремальних точок:
1. знаходять критичні точки функції , тобто точки , в яких , або не існує;
2. знаходять другу похідну і обчислюють значення другої похідної в цих точках.
Якщо значення другої похідної в критичній точці від'ємне, то така точка є точкою максимуму, а якщо значення другої похідної додатне, то точка є точкою мінімуму.
Якщо в критичній точці, то нічого конкретного сказати не можна, бо в цій точці може бути екстремум, а може й не бути.
Розглянемо тепер дослідження функції на екстремум на конкретних прикладах.
Приклад 1. Дослідити на екстремум функцію
Розв'язання. Функція визначена і диференційована на R. Знайдемо її похідну:
.
Знайдемо нулі похідної:
х2+х-2=0, х1=-2 х2=1.
Отже, функція f має дві критичні точки х1=-2,х2=1.
Оскільки похідна є квадратним тричленом з додатним коефіцієнтом при х2, то на інтервалах , а на інтервалі (-2;1) .
Похідна неперервна на R і при переході через критичну точку змінює знак на протилежний.
Оскільки при переході через критичну точку х=-2 похідна змінює знак з плюса на мінус, то в цій точці функція має локальний максимум.
.
При переході через точку х=1 похідна змінює знак з мінуса на плюс. Тому в цій точці функція f має локальний мінімум.
.
Приклад 2.Дослідити на екстремум функцію
Розв'язання. Функція визначена. Знайдемо її похідну:
.
Критична точка х=9. при переході через цю точку похідна змінює знак з мінуса на плюс. Отже, в цій точці функція f має локальний мінімум:
.
Крім того, похідна дорівнює нулю в точці х=0. оскільки справа від цієї точки(до х<6) функція не визначена, то в точці х=0 функція набуває найменшого значення .
Приклад 3.Дослідити на екстремум функцію
.
Розв'язання. Функція визначена і диференційована на R. Її похідна
дорівнює нулю при .
Ця критична точка розбиває числову пряму на два інтервали знакосталості похідної :
.
Оскільки на інтервалі , то функція f в точці має локальний максимум.
Його значення
1.3. Зростання та спадання функції
Дослідження функції на зростання та спадання ґрунтується на теоремі математичного аналізу.
Теорема. Нехай
Loading...

 
 

Цікаве