WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Середні значення - Реферат

Середні значення - Реферат


Реферат на тему:
Середні значення
Статистика оперує такими середніми значеннями: середнє арифметичне, середнє квадрати-чне, середнє геометричне.
Середнє арифметичне. Нехай ми маємо п об'єктів, у яких виміряно деяку характеристику, що має значення x1, x2, …, xn.
Середнім значенням (або середнім арифметичним) називається таке число , яке дістають діленням суми всіх даних вибірки x1, x2, …, xn на число цих даних n,
або ( - знак суми - "сигма" велика)
Приклади. 1) Протягом перших п'яти днів березня температура повітря, вимірювана о 8 год. ранку, становила 3°, 5°, 4°, 1°, 2°. Знайти середню температуру за ці дні.
Маємо:
2) 3 двох учнів треба вибрати одного в баскетбольну команду. Відомі кількості їхніх влу-чень м'яча в корзину на кожні десять кидків під час тренувань.
Таблиця 1
Номер тренувань
1
2
3
4
5
Перший учень
4
3
5
3
6
Кількість влучень
Другий учень
5
4
3
6
5
Розв'язання.
Знаходимо середню кількість влучень.
Для першого учня:
Для другого учня:
Отже, в команду слід узяти другого учня.
Розглянемо деякі властивості середнього арифметичного.
1) Знайдемо відхилення l кожного значення xj від середнього . Різниця х - може бути від'ємною або додатною.
Сума всіх п відхилень дорівнює нулю. Проілюструємо цю властивість на прикладі. Вихі-дні дані:. (0; 0; 1; 1; 3;3;3; 5); n= 8; = 2.
2) Якщо до кожного результату спостережень додати деяке число с (константу), то середнє арифметичне перетвориться в + с. Візьмемо, наприклад, попередні 8 значень і додамо до кожного з них по 5. Дістанемо числа 5; 5; 6: 6; 8; 8; 8; 10, середнє арифметичне яких (5 + 5+ 6 + 6 + 8 + 8 + 8+10) : 8 = 7. Середнє на 5 одиниць більше.
Таблиця 2
Значення Середнє арифметичне Відхилення
0 2 -2
0 2 -2
1 2 -1
1 2 -1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
5 2 3
-
0
3) Якщо кожне значення сукупності з середнім помножити на константу с, то середнє арифметичне стане с . Перевірте властивість, використовуючи попередні дані.
Якщо величини деяких даних повторюються, то середнє арифметичне визначають за фор-мулою
,де
fi - частота повторення результату xi.
Приклади. 1) Протягом двадцяти днів серпня температура повітря вранці була такою: 17°, 18°, 19°, 20°, 18°, 18°, 18o, 19o, 19°, 20°, 20°, 19°, !9°, 19°, 20°, 19o, 18°, 17°, 16°, 19°.
Знайти середню температуру за цими даними.
Тут окремі значення (17°, 18°, 19°, 20°) повторюються. Середнятемпература дорівнює:
2) Подаємо запис обчислення середнього арифметичного при повторенні деяких даних у вигляді таблиці.
Таблиця 3
Вихідні
дані
xi
Час-тота fi
xifi
Остаточне обчис-лення
2 6 10 2 2 4
де I=1,2,3,…,11
2 6 10 3 1 3
3 6 11 4 3 12
4 6 12 5 2 10
4 8 12 6 4 24
4 9 15 8 1 8
5 9 15 9 3 27
5 9 15 10 2 20
11 1 11
12 2 24
15 3 45
3) За контрольну роботу учні одержали такі оцінки
Оцінки (бали) 5 4 3 2
Кількість
учнів 6 7 4 17
Чи достатньо засвоєний матеріал?
Знайдемо середню величину оцінок.
Ця оцінка є задовільною. Але частота оцінки "2" (мода) дуже висока, вона дорівнює 17. Отже, матеріал засвоєний учнями недостатньо.
Середнє квадратичне відхилення. Ми вже встановили, що сума відхилень даних від сере-днього значення дорівнює нулю. Тому, якби ми вирішили шукати середній показник відхилень, то він також дорівнював би нулю. В статистиці користуються іншим показником - середнім квадратичним відхиленням, який знаходять так: усі відхилення підносять до квадрата; знаходять середнє арифметичне цих квадратів; із знайденого середнього арифметичного добувають квадра-тний корінь. Середнє квадратичне відхилення позначають грецькою буквою ? ("сигма" мала):
Знаходження середнього квадратичного відхилення подано в таблиці 4.
Таблиця 4
Зна-чення xi
Сере-днє ариф-мети-чне
Відхи-лення
xi -
Квадрат відхи-лення
(xi- )2
Квадратичне від-хилення ?
5 - 7 49
8 - 4 16
10 - 2 4
12 0 0
17 5 25
20 8 64
=72
=
=12
У статистиці користуються також величиною ?2 (квадрат середнього квадратичного відхи-лення), яку називають дисперсією.
Середнє геометричне п додатних чисел х1, х2, х3, ...,хп визначається виразом
, тобто середнє геометричне х1 х2 х3...п є корінь n-го степеня з добутку всіх xi (і = 1, 2, ...).
У випадку двох чисел а і b середнє геометричне називають середнім пропорційним цих чисел. З рівності тс = аb випливає, що а : mc= тс : b.
На практиці окремим особам, організаціям, керівникам підприємств доводиться розв'язу-вати різноманітні задачі, пов'язані з використанням поняття моди, медіани, середнього. Напри-клад, яких розмірів дитячого взуття слід випускати більше, ніж інших; на якому з міських марш-рутів треба пустити автобусів більше, ніж на решті; якого розміру спортивних костюмів слід ви-готовити найбільше для учнів 10-11 класів тощо.
Розглянуті моду,медіану і середні значення називають мірами центральної тенденції.
Loading...

 
 

Цікаве